广义集合交求解疑问：序列集合{xᵢ = [2, 3 + 1/i)}的广义交到底是[2,3]还是[2,3)?

嘿，这个问题其实是集合论里关于无限交的经典小误区，我来给你拆解明白～

首先明确：正确答案是[2, 3]，咱们一步步理清楚原因：

先回忆广义交的核心定义 #

一个元素属于所有集合的广义交，当且仅当这个元素同时属于每一个xᵢ，缺一不可。

分析区间内的元素 #

1. 左端点2：每个xᵢ都是左闭区间，2明确包含在每一个xᵢ里，所以2肯定在交集中，这部分没争议。
2. 关键的点3：
   • 对于任意正整数i，3+1/i总是大于3的（因为1/i是正数），所以3满足“小于xᵢ的右端点”，同时大于等于左端点2，因此3属于每一个xᵢ。
   • 根据广义交的定义，既然3在所有xᵢ里，那它必然属于所有xᵢ的交集。
3. 大于3的数：假设存在某个数a>3，那总能找到一个足够大的i（比如i>1/(a-3)），使得3+1/i < a，这时候a就不在xᵢ里了，所以a不属于所有xᵢ的交集。

为什么会有[2,3)的误解？ #

很多人会混淆区间的极限和集合的交集：当i趋向无穷时，xᵢ的右端点3+1/i确实趋近于3，但交集不是取区间的极限状态，而是要找所有区间都共同包含的元素。3是所有区间都包含的，而任何大于3的数都做不到这一点，所以交集必须包含3。

举个直观的例子：

• i=1时，x₁=[2,4)，3在里面；
• i=100时，x₁₀₀=[2,3.01)，3还在里面；
• i=1000000时，x₁₀₀₀₀₀₀=[2,3.000001)，3依然在里面；
  不管i多大，3永远属于xᵢ，所以它必然在交集中。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Allenc