分裂域扩张次数等于n!时多项式不可约性的证明问题

嘿，我来帮你搞定这个问题！你已经证明了分裂域扩张次数$[L:K]$整除$n!$，现在要反过来推导当$[L:K]=n!$时多项式$f$不可约，其实用反证法结合域扩张的塔性质就能轻松搞定，不用纠结复杂的归纳~

证明步骤： #

• 第一步：假设多项式可约，推出矛盾
  假设$f$在$K[x]$中可约，那么我们可以将$f$分解为两个次数都小于$n$的非零多项式乘积：
  f = g · h
  其中$\deg(g)=k$，$\deg(h)=m$，满足$1 \leq k,m < n$且$k+m=n$。

• 第二步：利用分裂域的子域性质
  设$M$是$g$在$K$上的分裂域，由于$L$是$f$的分裂域，$f$的所有根都在$L$中，自然$g$的所有根也在$L$中，因此$M$是$L$的子域（即$K \subseteq M \subseteq L$）。

  根据你已经证明的结论：

  • $[M:K]$整除$k!$（因为$M$是$k$次多项式$g$的分裂域）
  • $[L:M]$整除$m!$（因为$L$是$m$次多项式$h$在$M$上的分裂域）

• 第三步：结合域扩张塔公式推导矛盾
  根据域扩张的塔性质，我们有：
  [L:K] = [L:M] · [M:K]
  这意味着$[L:K]$必须整除$k! · m!$。但我们知道$n! = k! · m! · \binom{n}{k}$，其中$\binom{n}{k}$是组合数，当$1 \leq k < n$时，$\binom{n}{k} \geq 2$，所以：
  $k! · m! < n!$

  但题目中给出$[L:K] = n!$，一个正整数不可能整除比它更小的正整数，这就和我们的假设矛盾了。

• 结论
  因此，假设不成立，$f$在$K[x]$中必须是不可约的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者darkside