关于高斯测度与随机向量前推测度的疑问

假设$d\mu$是$\mathbb{R}^n$上的中心高斯测度，协方差矩阵为$\sigma$，$X: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n$是任意可测映射——其实也可以直接把$X$看作一个随机向量。

我们定义$\mu$通过$X$得到的前推测度$d[X_* \mu]$：对于任意Borel集$E \subset \mathbb{R}^n$，有
$$X_* \mu:=\mu(X^{-1}(E))$$

另外，把$X$拆分成分量形式$X=(X_1, \cdots, X_n)$，其中每个$X_i: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$都是随机变量（对应$i=1,\cdots,n$）。

现在我有个困惑：对于所有$i,j=1,\cdots,n$，下面这个等式是否成立？
$$\int_{\mathbb{R}^n} X_i(x) X_j(x) \text{ }dX_* \mu= \sigma_{ij}$$
这里$\sigma_{ij}$是协方差矩阵$\sigma$的第$(i,j)$个元素。

我总觉得这个公式有点像同义反复，但就是没办法严谨地验证它。有没有大佬能帮我理清这个问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Keith