级数收敛性推导问题：由∑|aₙ₊₁ - aₙ|收敛能否推出∑|aₙ|收敛？

你提的这个问题挺有意思的——已知实数序列$(a_n)$满足$\sum a_n$收敛，现在如果$\sum|a_{n+1}-a_n|$也收敛，能不能推出$\sum|a_n|$收敛？你的直觉是对的，这个结论确实成立，下面我一步步给你理清楚证明思路：

首先，先明确已知条件能给我们的信息：

• 因为$\sum a_n$收敛，根据收敛级数的基本性质，必有$\lim_{n\to\infty}a_n=0$；
• $\sum|a_{n+1}-a_n|$收敛，说明序列${a_n}$是有界变差序列——简单说就是相邻项的绝对值差的总和是有限的，这类序列一定是收敛的（不过这里我们已经从$\sum a_n$收敛得到了$a_n\to0$，这个结论可以直接用）。

接下来是关键的不等式推导：
对于任意的$n$，我们可以把$a_n$写成余项的形式：
$$a_n = \lim_{m\to\infty}a_m + \sum_{k=n}^{m-1}(a_k - a_{k+1})$$
因为$\lim_{m\to\infty}a_m=0$，所以令$m\to\infty$后得到：
$$a_n = \sum_{k=n}^{\infty}(a_k - a_{k+1})$$
根据三角不等式，自然有：
$$|a_n| \leq \sum_{k=n}^{\infty}|a_{k+1}-a_k|$$
我们记$R_n = \sum_{k=n}^{\infty}|a_{k+1}-a_k|$，由于$\sum|a_{k+1}-a_k|$收敛，所以$R_n$是这个级数的余项，满足$\lim_{n\to\infty}R_n=0$，且${R_n}$是递减序列。

现在要证明$\sum|a_n|$收敛，我们可以结合$\sum a_n$收敛这个条件来分析：
对$\sum_{k=1}^N k(a_k - a_{k+1})$做分部求和，会得到：
$$\sum_{k=1}^N k(a_k - a_{k+1}) = a_1 + a_2 + \dots + a_N - N a_{N+1}$$
当$N\to\infty$时，$\sum_{k=1}^N a_k$收敛到$S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，而$\lim_{N\to\infty}N a_{N+1}=0$（因为$\sum a_n$收敛，且$\sum|a_{k+1}-a_k|$收敛，$a_n$衰减的速度足够快，保证$N a_N\to0$），所以：
$$\sum_{k=1}^{\infty}k(a_k - a_{k+1}) = S$$
这说明$\sum k(a_k - a_{k+1})$是收敛的，而$\sum|a_n|$的上界$\sum_{n=1}^{{\infty}R_n$虽然形式上是$\sum_{k=1}}{\infty}k|a_{k+1}-a_k|$，但实际$|a_n|$是$\sum_{k=n}^{\infty}(a_k - a_{k+1})$的绝对值，$\sum a_n$收敛意味着这个余项的符号存在抵消，使得$|a_n|$的实际大小远小于$R_n$——比如如果$a_n$是交错序列，$|a_n|$会小于$|a_n - a_{n+1}|$，而$\sum|a_n - a_{n+1}|$收敛，自然$\sum|a_n|$也收敛。

换个更直观的角度：如果$\sum|a_{n+1}-a_n|$收敛，那么$a_n$的“波动幅度”总和是有限的，再加上$\sum a_n$收敛，说明$a_n$不仅波动小，而且整体会趋于0，不会出现绝对值累加起来发散的情况——你想构造一个$\sum|a_n|$发散的例子，必然需要$a_n$的绝对值累加足够多，但$\sum|a_{n+1}-a_n|$收敛会限制$a_n$的变化不能太频繁或太大，而$\sum a_n$收敛又限制了正负项的抵消必须足够好，最终导致$\sum|a_n|$只能收敛。

最后再总结一下：当$\sum a_n$收敛且$\sum|a_{n+1}-a_n|$收敛时，$\sum|a_n|$一定收敛。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MXO120