关于4×4复矩阵A的AA^H的维度与自由度的技术问询
首先来解决你的第一个问题：$AA^H$的自由度确实是16，不会更少。
你已经注意到$AAH$是Hermitian矩阵，这类矩阵的实自由度上限是16（4个实对角元，每个1个自由度；6对非对角复元，每对2个自由度，加起来4+6×2=16）。关键是要证明**所有正定Hermitian矩阵都能表示成$AAH$的形式**，而正定Hermitian矩阵在整个Hermitian矩阵空间中是开集，意味着它们的维度和整个Hermitian空间一致，都是16。
怎么验证这一点？你可以用微分的思路：取$A=I+tB$（$I$是单位矩阵，$B$是任意4×4复矩阵，$t$是小实数），展开$AA^H$得：
$$AA^H = (I+tB)(I+tB^H) = I + t(B+B^H) + t2BBH$$
当$t$趋近于0时，这个映射的微分就是把$B$映射到$B+BH$——而任何Hermitian矩阵$M$都可以写成$B+BH$（比如取$B=M/2$），说明微分是满射。这意味着在$A=I$附近，$AA^H$的局部维度就是16，因此整个集合的自由度不会低于16，结合上限就是16。
接下来是第二个问题：有没有反对合（anti-involution）能让$Aσ(A)$的自由度降到12？
结论是没有这样的反对合。原因如下：
首先，$M_4(\mathbb{C})$上的反对合要么是反线性的（比如Hermitian共轭$σ(X)=XH$），要么是线性的（比如转置$σ(X)=XT$），且都满足$σ(σ(X))=X$、$σ(AB)=σ(B)σ(A)$。
对于任意反对合$σ$，考虑映射$f(A)=Aσ(A)$的微分：在$A=I$处，微分是$B→B+σ(B)$，这个像空间是σ-对称矩阵的集合（即满足$σ(M)=M$的矩阵$M$）。
- 若$σ$是反线性反对合（如Hermitian共轭），σ-对称矩阵就是Hermitian矩阵，实维度16，微分满射，因此$f(A)$的集合维度是16；
- 若$σ$是线性反对合（如转置），σ-对称矩阵是复对称矩阵，实维度20（4个复对角元+6个复非对角元，共4×2+6×2=20），微分满射，因此$f(A)$的集合维度是20。
不存在反对合能让σ-对称矩阵的实维度降到12：线性反对合的σ-对称空间维度固定为$n(n+1)$（$n=4$时是20），反线性反对合的则是$n²$（$n=4$时是16），都远大于12。因此没有这样的反对合能让$Aσ(A)$的自由度变为12。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Gere
