带非齐次Dirichlet边界条件的热方程：梯度L²正则解对应的边界数据最小条件问询

问题背景 #

考虑带Dirichlet边界条件的标准热方程：
$$\begin{cases}
\partial_tu - \Delta u = 0 & \text{in } \Omega_T := (0,T) \times \Omega, \
\hfill u = g & \text{in } S_T := (0,T) \times \partial \Omega, \
\hfill u = 0 & \text{on } {0} \times \Omega.
\end{cases}\tag{H}$$
其中假设$\Omega \subset \mathbb R^n$是有界且足够正则的区域。

核心问题 #

我想搞清楚：要保证存在满足$\nabla u \in L^2(\Omega_T)$的解$u$（解的存在性按任意合理的弱形式理解），需要给边界数据$g$施加最小条件是什么？

已知相关结果 #

• 当$g \equiv 0$，或者换成添加强迫项、给定初始条件的情形，用Galerkin方法就能得到标准的存在性结果。
• 如果$g$能延拓到$\Omega_T$上的一个合适正则的$\tilde{g}$，那我们可以通过令$w = u - \tilde{g}$把问题转化为齐次边界的情况，但目前我不清楚$g$需要多少正则性才能做到这一点。

椭圆问题的已知结论 #

对应的拉普拉斯方程（去掉时间项）的情况是已经明确的：要保证解$u \in W^{{1,2}(\Omega)$，边界数据$g$必须且只需属于$W}{\frac{1}{2},2}(\partial\Omega)$——这是$W^{1,2}(\Omega)$的迹空间。此时椭圆问题
$$\begin{cases}
-\Delta u = 0 &\text{in } \Omega \
\hfill u = g & \text{on } \partial\Omega
\end{cases}$$
有唯一解，且满足等价性
$$ \lVert u \rVert_{W^{1,2}(\Omega)} \simeq \lVert g \rVert_{W^{\frac12,2}(\partial\Omega)},$$
其中隐含常数依赖于空间维度$n$和区域$\Omega$（比如假设$\Omega$是Lipschitz的）。

细化后的抛物问题疑问 #

我想找到抛物问题对应的最优空间。比如，如果解$u$存在，那么对几乎所有$t$考虑$u(t,\cdot)$，能推出必要条件：
$$ g = u \rvert_{S_T} \in L^2(0,T;W{\frac12,2}(\partial\Omega)). \tag{$\dagger$}$$

我的核心疑问是：

条件$(\dagger)$是否也是充分的？如果不是，还需要额外添加什么条件？

一些初步思考 #

如果解$u$存在，从方程结构能推出$\partial_t u = \Delta u \in L^2(0,T;W{-1,2}(\Omega))$，所以$u$有一定的时间正则性；通过能量不等式还能得到$u \in L^{{\infty}(0,T;L}2(\Omega))$。但这些空间没法给$g$提供更多信息，因为$L^{2(\Omega)$和$W}{-1,2}(\Omega)$都没有合适的迹算子。

这和要求$\nabla^2 u \in L^2(\Omega_T)$的情况形成对比：那种情况下，解存在的充要条件是
$$ g \in L^2(0,T;W{\frac32,2}(\partial\Omega)) \cap W^{{\frac34,2}(0,T;L}2(\Omega)).$$
这里能看到需要给$g$额外加时间正则性，但我不清楚这种额外条件对梯度正则的情况是否必要。

和椭圆问题类似，利用线性性可以把问题转化为迹的问题：如果能把$g$延拓到$\Omega_T$上的$\tilde{g}$，令$w = u - \tilde{g}$，则$w$满足
$$ \partial_t w - \Delta w = - (\partial_t \tilde g - \Delta \tilde g). $$
如果右端属于$L^2(0,T;W{-1,2}(\Omega))$，就能用Galerkin方法得到存在性，但这要求$\tilde g \in W^{1,2}(0,T;W{-1,2}(\Omega)) \cap L^2(0,T;W{1,2}(\Omega))$，而仅假设$(\dagger)$的话，我不清楚是否存在这样的延拓。

我觉得这个问题应该是被充分研究过的，但我还没找到相关结果，非常欢迎任何教材或论文的参考建议。

后续的时间离散化尝试 #

除了Galerkin逼近（空间有限维逼近），我还尝试用时间离散化的最小运动方法，假设$g$满足$(\dagger)$：

取步长$h > 0$，令$t_k = hk$（$0 \leq k \leq \lfloor T/h \rfloor$），构造逼近解$u_h$：当$t_k \leq t < t_{k+1}$时，$u_h(t,x) = u_{h,k}(x)$，其中每个$u_{h,k}$满足
$$ \begin{cases}
\frac{u_{h,k} - u_{h,k-1}}h - \Delta u_{h,k} = 0 & \text{in } \Omega, \
u_{h,k} = g_{h,k} & \text{on } \partial\Omega,
\end{cases}$$
且$u_{h,0} \equiv 0$。这里不能直接取$g_{h,k}(x)=g(t_k,x)$，因为$g$的正则性不足以保证这一点，所以我用了Steklov平均：
$$ g_{h,k}(x) = \frac1{h} \int_{t_k}^{t_{k+1}} g(s,x) ,\mathrm{d}s \in W^{\frac12,2}(\partial\Omega).$$

不难归纳证明每个$u_{h,k}$都存在，比如从变分角度看，$u_{h,k}$是泛函
$$ u \mapsto \int_{\Omega} \frac12 \lvert \nabla u \rvert^2 + \frac1{2h} \lvert u - u_{h,k-1} \rvert^2 ,\mathrm{d}x \tag{V} $$
在满足$u\rvert_{\partial\Omega} = g_{h,k}$的$W^{1,2}(\Omega)$函数中的极小值点。

接下来的策略是得到合适的先验估计，然后利用紧性得到极限解。但遗憾的是，这些逼近解$u_h$的先验估计并不容易得到：通常会用变分形式(V)和$u_{h,k-1}$做能量比较，但$u_{h,k-1}$并不满足边界条件$g_{h,k}$，所以这条路走不通。

这提示我需要构造$g_{h,k}$到$\Omega$的延拓$G_{h,k}$来做能量比较，但这需要控制量
$$ \frac1{2h} \int_{\Omega} \lvert G_{h,k} - G_{h,k-1} \rvert^2 ,\mathrm{d}x,$$
并且当$h \to 0$时这个量对$k$一致趋于0。这本质上是要找到满足$(\dagger)$的$g$到$\Omega_T$的延拓$G$，使得$G \in C([0,T];L^2(\Omega))$，但这看起来并不比之前的延拓问题简单——简单的调和延拓是不够的，因为$g$本身没有时间正则性。

不过这似乎暗示：如果能构造这样的延拓$G \in C([0,T];L^{2(\Omega))$，可能就足够解决问题了，而不是需要更复杂的$W}{1,2}(0,T;W^{-1,2}(\Omega))$类延拓。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ktoi