基于二维正态分布样本，推导$V_1 = \sum_{i=1}^n X_i^2$在给定$V_2 = \sum_{i=1}^n Y_i^2$下的条件分布

嗨，Jackie！我来帮你一步步搞定这个条件分布的推导。你一开始说$V_1 \sim \chi^2_n$和$V_2 \sim \chi^2_n$完全正确，但因为$X_i$和$Y_i$是相关的（相关系数为$\rho$），这两个卡方变量并不独立，所以不能直接用独立变量的条件分布公式，得从二维正态的结构入手拆解。

第一步：二维正态变量的分解 #

首先，我们可以把每个$(X_i,Y_i)$做如下标准分解：
$$X_i = \rho Y_i + \sqrt{1-\rho^2} Z_i$$
其中$Z_i \sim N(0,1)$，且所有$Z_i$都和$Y_i$相互独立。这个分解的合理性很容易验证：$X_i$的均值为0，方差是$\rho^2 \text{Var}(Y_i) + (1-\rho^2)\text{Var}(Z_i) = \rho^2 + 1-\rho^2 = 1$，同时$\text{Cov}(X_i,Y_i) = \rho \text{Var}(Y_i) = \rho$，完全符合原二维正态的参数。

第二步：代入$V_1$的表达式并展开 #

把$X_i$的分解式代入$V_1 = \sum_{i=1}^n X_i^2$，展开后得到：
$$
\begin{align*}
V_1 &= \sum_{i=1}^n \left( \rho Y_i + \sqrt{1-\rho^2} Z_i \right)^2 \
&= \rho^2 \sum_{i=1}^n Y_i^2 + 2\rho\sqrt{1-\rho^2} \sum_{i=1}^n Y_i Z_i + (1-\rho^2)\sum_{i=1}n Z_i^2 \
&= \rho^2 V_2 + 2\rho\sqrt{1-\rho^2} \sum_{i=1}^n Y_i Z_i + (1-\rho^2)U
\end{align*}
$$
这里我们令$U = \sum_{i=1}^n Z_i^2$，显然$U \sim \chi^2_n$，且$U$和$Y_i$独立。

第三步：给定$V_2 = v_2$时的条件分布转换 #

当给定$V_2 = v_2$时，我们把$\sum_{i=1}^n Y_i Z_i$标准化：令$T = \frac{\sum_{i=1}^n Y_i Z_i}{\sqrt{v_2}}$，因为$Z_i$和$Y_i$独立，$\sum_{i=1}^n Y_i Z_i$在给定$Y_1,...,Y_n$时服从$N(0, v_2)$，因此$T \sim N(0,1)$。

把$V_1$的表达式改写为：
$$V_1 = \rho^2 v_2 + 2\rho\sqrt{1-\rho^2}\sqrt{v_2} T + (1-\rho^2)U$$

接下来对含$T$的项配平方：
$$
\begin{align*}
2\rho\sqrt{1-\rho^2}\sqrt{v_2} T + (1-\rho^2)T2 &= (1-\rho^2)\left( T^2 + 2\rho \frac{\sqrt{v_2}}{\sqrt{1-\rho^2}} T \right) \
&= (1-\rho^2)\left( \left( T + \rho \frac{\sqrt{v_2}}{\sqrt{1-\rho^2}} \right)^2 - \frac{\rho^2 v_2}{1-\rho^2} \right)
\end{align*}
$$
注意到$U = T^2 + U'$（其中$U' \sim \chi^{2_{n-1}$且和$T$独立，可通过正交变换证明），代入后$\rho}2 v_2$项会抵消，最终得到：
$$V_1 = (1-\rho^2)\left( U' + \left( T + \rho \frac{\sqrt{v_2}}{\sqrt{1-\rho^2}} \right)^2 \right)$$

第四步：识别非中心卡方分布 #

现在看括号里的部分：

• $U' \sim \chi^2_{n-1}$（中心卡方）
• $\left( T + \rho \frac{\sqrt{v_2}}{\sqrt{1-\rho^2}} \right)^2 \sim \chi^2_1\left( \frac{\rho^2 v_2}{1-\rho^2} \right)$（非中心卡方，非中心参数为$\lambda = \frac{\rho^2 v_2}{1-\rho^2}$）
• 这两个变量相互独立

独立的中心卡方和非中心卡方相加，结果是自由度为$n$、非中心参数为$\lambda$的非中心卡方分布，即$U' + \left( T + \rho \frac{\sqrt{v_2}}{\sqrt{1-\rho^2}} \right)^2 \sim \chi^2_n\left( \frac{\rho^2 v_2}{1-\rho^2} \right)$。

因此，给定$V_2 = v_2$时，$V_1$的条件分布为：
$$V_1 \mid V_2 = v_2 \sim (1-\rho^2) \cdot \chi^2_n\left( \frac{\rho^2 v_2}{1-\rho^2} \right)$$

验证特殊情况 #

当$\rho=0$时，$X_i$和$Y_i$独立，此时条件分布应该就是$V_1$的边缘分布$\chi^{2_n$，代入上面的结果：$(1-0)\cdot\chi}2_n(0) = \chi^2_n$，完全符合预期，说明推导是正确的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jackie