关于《Graphs on Surfaces and Their Applications》中Dessin d'Enfants示例里f−1有两个二重根的疑问

嘿，你这个问题我当初啃这本书的时候也卡过！咱们得结合Dessin d'Enfants（儿童画）的核心逻辑来捋清楚：

首先，这个$f(x)$是一个Belyi函数——这是Dessin理论里的核心对象，简单说就是把黎曼球面映射到自身的有理函数，只会在0、1、∞这三个点处产生分支。而这类函数的分支行为，和它对应的dessin图形（就是Fig2.20里的那个图）的顶点、边结构是严格对应的。

作者说$f(x)-1$有两个二重根，本质是对应图里的两个二阶顶点（也就是两条边交汇的顶点）。为啥呢？因为在Belyi函数的规则里，dessin的顶点度数就对应函数在该点的分支指数：如果一个顶点是2度（两条边交汇），那这个点作为$f(x)=1$的原像，分支指数就是2——翻译过来就是，$f(x)-1$在这个点处不仅函数值为0，导数也为0，这不就是二重根的定义嘛！

再结合你给出的$f(x)$形式：$f(x)=K\frac{(x-1)^3(x-a)}{x}$，当我们看$f(x)-1=0$时，通分后得到的四次多项式，它的根对应$f(x)=1$的所有解。而根据Fig2.20里的dessin结构，其中两个解点是分支指数为2的分支点，所以这两个点就是$f(x)-1$的二重根。

说白了，这不是凭空假设的，是从dessin的图形结构反推出来的函数分支性质——作者默认你已经把dessin的顶点度数和Belyi函数的分支行为对应上了，所以直接用了这个结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Rowing0914