条件概率计算疑问：为何两种解法结果不同？

我最近碰到一道概率题，两种思路算出来结果不一样，实在搞不清问题出在哪，来跟大家聊聊：

一个袋子里有10个黑球和5个白球，不放回地随机依次抽取两个球。已知至少有一个球是黑球，求两个球都是黑球的概率？

我的错误思路 #

我一开始是这么想的：既然已经确定至少有一个球是黑球，那剩下的14个球里还有9个黑球，那另一个球是黑球的概率不就是9/14吗？

正确的条件概率解法 #

后来才知道正确的解法应该用条件概率来计算：

• 设事件A：至少有一个球是黑球，计算可得 P(A)=19/21
• 设事件B：两个球都是黑球，计算可得 P(B)=3/7
• 根据条件概率公式 P(B|A)=P(A∩B)/P(A)，这里事件A和B的交集其实就是B（因为两个都是黑球必然满足至少有一个黑球），所以代入计算得到 P(B|A)= (3/7)/(19/21)=9/19，这才是正确答案。

为啥我的思路错了？ #

现在我终于想明白问题所在了：“已知至少有一个黑球”≠“固定某一个特定的球是黑球”。

前者的样本空间是排除了“两个都是白球”的所有情况，包含三种可能：第一个黑第二个白、第一个白第二个黑、两个都是黑。这三种情况的概率权重不一样，不能简单简化成“剩下14个球里抽黑球”——因为你不知道到底是哪一次抽到了黑球，这种错误思路相当于把条件窄化成了“第一个球是黑球”或者“第二个球是黑球”，但题目里的条件是更宽泛的“至少有一个黑球”，对应的样本空间和前者完全不同。

如果用枚举样本数来验证的话：总共有C(15,2)=105种抽法，排除两个都是白球的C(5,2)=10种，满足“至少一个黑球”的抽法有95种；而两个都是黑球的抽法有C(10,2)=45种，45/95=9/19，和条件概率的结果一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Garv Chaudha