关于有限维线性映射正合序列维数交替和公式的推理困惑

嗨，我看了你构造的例子，问题出在你构造的序列并不是一个真正的正合序列哦！咱们一步步拆解来看：

首先先明确正合序列的核心定义，针对你写的短序列$0 \rightarrow V_1 \xrightarrow{\phi_1} V_2 \xrightarrow{\phi_2} V_3$，正合需要满足两个关键条件：

• 最左侧的$\phi_1$必须是单射——因为序列开头是$0$，正合性要求$\ker(\phi_1) = \text{im}(0 \rightarrow V_1) = {0}$，也就是说$\phi_1$不能把不同的非零向量映射到同一个向量或者零向量；
• $\text{im}(\phi_1) = \ker(\phi_2)$，也就是$\phi_1$的像恰好是$\phi_2$的核。

现在看你构造的映射：
$V_1$的基向量$v_{11}$和$v_{12}$都被$\phi_1$映射到$v_{21}$，$v_{14}$和$v_{15}$都映射到$v_{22}$，$v_{13}$直接映射到$0$。这时候$\phi_1$的核里包含了$v_{11}-v_{12}$、$v_{14}-v_{15}$、$v_{13}$这些非零向量，完全违反了第一个正合条件（$\ker(\phi_1)$必须是${0}$）。

虽然你构造的$\text{im}(\phi_1)$（由$v_{21},v_{22}$张成）确实等于$\ker(\phi_2)$（假设$\phi_2$把$v_{21},v_{22}$映射到0），但最左侧的正合性已经不满足了，所以这个序列根本不是正合序列，自然也就不符合交替和为0的结论啦。

另外补充个小细节：原题目里的求和式应该是笔误，正确的形式应该是$\sum_{i=1}^{n} (-1)^i \dim V_i = 0$——如果是$(-1)^{n$的话，它是个与$i$无关的常数，求和结果就是$(-1)}n$乘以所有空间维数的和，显然不可能总是0，这应该是输入时的小错误。

如果你想找一个符合条件的正合序列例子，可以试试这个：
$$0 \rightarrow \mathbb{R}^2 \xrightarrow{\phi_1} \mathbb{R}^3 \xrightarrow{\phi_2} \mathbb{R}^1$$
其中$\phi_1(a,b)=(a,b,0)$（标准单射），$\phi_2(x,y,z)=z$。这时候$\text{im}(\phi_1)=\ker(\phi_2)=\text{span}{(1,0,0),(0,1,0)}$，完全满足正合性。计算交替和：
$$(-1)^1 \cdot 2 + (-1)^2 \cdot 3 + (-1)^3 \cdot 1 = -2 + 3 -1 = 0$$
完美符合公式~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Real_momo