非齐次泊松过程未归一化到达时间的合理性问询
这个问题确实戳中了非齐次泊松过程里一个容易混淆的点——毕竟我们平时接触的普通泊松过程里，第n个事件肯定会发生，CDF必然趋于1，突然遇到这种“没归一化”的情况难免疑惑。其实核心原因在于：当$\Lambda(\infty) < \infty$时，总事件数$N(\infty)$是服从泊松分布$\text{Poisson}(\Lambda(\infty))$的有限随机变量，这意味着第n个事件有可能根本不会发生！
下面具体拆解这个逻辑：
直观层面的解释
不管是$\lambda(t)$在某个$T$后直接归零，还是它衰减到使得$\Lambda(\infty)$有限，本质上整个时间轴内发生的事件总数是有限的（有正概率是0、1、…、k，其中k是某个有限数）。如果总事件数小于n，那第n个事件就永远不会出现。这时候我们可以把$T_n$看作扩展实数轴上的随机变量，用$T_n = \infty$来表示“第n个事件从未发生”的情况。数学上的完整归一化
你看到的$F_{T_n}(\infty) < 1$只是针对有限时间t的CDF值，完整的概率分布应该把$T_n = \infty$的情况纳入：- 对有限的$t \geq 0$，$P(T_n \leq t) = 1 - \frac{\Gamma(n,\Lambda(t))}{\Gamma(n)}$，这是第n个事件在t时刻前发生的概率；
- $P(T_n = \infty) = \frac{\Gamma(n,\Lambda(\infty))}{\Gamma(n)} = P(N(\infty) < n)$，这是第n个事件永远不发生的概率。
把这两部分加起来，总概率就是$1 - \frac{\Gamma(n,\Lambda(\infty))}{\Gamma(n)} + \frac{\Gamma(n,\Lambda(\infty))}{\Gamma(n)} = 1$，完全符合归一化要求。
对比普通泊松过程
普通泊松过程中$\Lambda(\infty) = \infty$，而$\lim_{x \to \infty} \frac{\Gamma(n,x)}{\Gamma(n)} = 0$，所以$P(T_n = \infty) = 0$，也就是说第n个事件几乎必然发生，这就是我们熟悉的CDF趋于1的情况。
举个简单例子帮你理解：假设$\Lambda(\infty)=2$，n=3，那么总事件数$N(\infty) \sim \text{Poisson}(2)$，计算得$P(N(\infty) <3)=e{-2}(1+2+\frac{22}{2!})=5e^{-2}≈0.6767$，这就是$T_3=\infty$的概率；而$F_{T_3}(\infty)=1-0.6767≈0.3233$，是$T_3$有限（即第3个事件发生）的概率，两者相加正好是1，完全归一化。
所以这种“未归一化”的表象只是因为我们默认只考虑了有限时间的情况，当把“事件永不发生”的极端情况纳入概率分布，整个模型就是自洽且归一化的。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Andras Vanyolos
