概率生成函数相关等式的证明求助

我最近卡在了下面这个概率问题上，希望能证明这个等式成立：

$$
\frac{g_N(t) - 1}{t - 1} = \sum_{n \geq 0} P(N > n) t^n
$$

这里的$g_N(t)$是非负整数值随机变量$N$的概率生成函数，并且满足$|t|<1$。

我自己先做了一些推导：首先把$g_N(t)$展开成它的定义形式：
$$
g_N(t) = \sum_{n \geq 0} t^n P(N = n)
$$
这样左边就变成了：
$$
\frac{\sum_{n \geq 0} t^n P(N = n) - 1}{t - 1}
$$
而右边我转换成了：
$$
\sum_{n \geq 0} (1 - P(N = n)) t^n
$$
于是等式就变成了：
$$
\frac{\sum_{n \geq 0} t^n P(N = n) - 1}{t - 1} = \sum_{n \geq 0} (1 - P(N = n)) t^n
$$

从这一步开始，我试过把两边同时乘以$(t-1)$，也试过把$t^n P(N=n)$写成闭形式的几何级数$\frac{P(N=n)}{1-t}$（因为$n\geq0$且$|t|<1$），但越弄越混乱，完全不知道接下来该怎么推导了。

有没有大佬能帮我完成这个等式的证明，或者给我一些关键的提示？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者rawestan