关于二元/一元累积分布函数（CDF）右连续性证明中序列选择的疑问

我一直搞不懂，为什么在证明CDF的右连续性时，必须用递减到极限值x或y的序列$x_n$或$y_n$呢？

就拿这个二元CDF右连续性的定义来说：$\mathbf{F}{X,Y}(x,y)$关于两个坐标都是右连续的，也就是当$x_n \searrow x$且$y_n \searrow y$时，$\mathbf{F}{X,Y}(x_n,y_n) \searrow \mathbf{F}_{X,Y}(x,y)$。我完全不理解这里为什么非得让序列递减到目标值。

而且在一元CDF的场景里，我们用到的序列都是递增到无穷大的啊。比如随便取一个递增到无穷的序列$y_n \nearrow \infty$（也就是$y_1 \leq y_2 \leq y_3 \leq \cdots$，$\lim_{n \to \infty} y_n = \infty$），固定某个$x \in \mathbb{R}$，定义事件$\large{A}{n} = (X\leq x \cap Y\leq y_n)$，因为$y_n$递增，所以事件序列是$A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq \cdots$，也就是事件越来越大，最终$\bigcup{n=1}^{\infty}A_n = (X\leq x \cap Y < \infty)$。

根据概率的连续性，当事件序列递增时，概率也会递增到极限事件的概率，也就是：
$$\mathbb{P}(A_n) \nearrow \mathbb{P}(A)$$
展开就是：
$$\mathbb{P}(X\leq x \cap Y\leq y_n) \nearrow \mathbb{P}(X\leq x)$$

这样我们就能把X的一元CDF表示为：
$$
\large\mathbf{F}{X}{(x)}
= \mathbb{P}(\mathrm{X}\leq x)
= \mathbb{P}(\mathrm{X}\leq x \cap \mathrm{Y}<\infty)
= \mathbb{P}(\lim{y \nearrow \infty} { \mathrm{X}\leq x \cap \mathrm{Y}\leq y})
= \mathbb{P}(\lim_{n \to \infty} { \mathrm{X}\leq x \cap \mathrm{Y}\leq y_{n}}) \quad (\text{对任意} \ y_{n}\uparrow \infty)
= \lim_{n \to \infty} \mathbb{P}( \mathrm{X}\leq x \cap \mathrm{Y}\leq y_{n})
= \lim_{y \nearrow \infty} \mathbb{P}( \mathrm{X}\leq x \cap \mathrm{Y}\leq y )
= \lim_{y \to \infty} \mathbb{P}( \mathrm{X}\leq x \cap \mathrm{Y}\leq y )
= \large \lim_{y \to \infty} \mathbf{F}_{\mathrm{X,Y}}( {x,y} )
$$

同理，取递增到无穷的序列$x_n \nearrow \infty$，固定$y \in \mathbb{R}$，定义事件$\large B_n = (X \leq x_n \cap Y \leq y)$，也能推出$\mathbb{P}(X\leq x_n \cap Y\leq y) \nearrow \mathbb{P}(Y\leq y)$，进而得到Y的一元CDF：$\large \mathbf{F}{Y}{(y)}= \large \lim{x \to \infty} \mathbf{F}_{\mathrm{X,Y}}( {x,y} )$。

所以不管是X还是Y的一元CDF，用到的都是递增到无穷的序列。另外，二元CDF还有这些性质：

• 对任意$a_1 < a_2$，$b_1 < b_2$，有$\mathbf{F}(a_2,b_2) - \mathbf{F}(a_2,b_1) - \mathbf{F}(a_1,b_2) + \mathbf{F}(a_1,b_1) \geq 0$（这是概率非负性的体现）
• 对任意$x\in \mathbb{R}$，$\lim_{y \to -\infty}\mathbf{F}{X,Y}(x,y) = 0$；对任意$y\in \mathbb{R}$，$\lim{x \to -\infty}\mathbf{F}_{X,Y}(x,y) = 0$
• $\lim_{\substack{x \to \infty \ y \to \infty}} \mathbf{F}_{X,Y}(x,y) = 1$
• 右连续性：当$x_n \searrow x$且$y_n \searrow y$时，$\mathbf{F}(x_n,y_n) \searrow \mathbf{F}(x,y)$

现在我有几个核心问题：

• a. 为什么证明CDF右连续性时，必须让$x_n$或$y_n$递减到x或y？
• b. 如果换成序列递增到x或y，是不是就对应左连续性了？
• c. 如果是$x_n \searrow x$同时$y_n\nearrow y$（或者反过来），是不是二元CDF会出现跳跃间断点？

问题b和c是我出于好奇，想搞清楚CDF在右连续性之外的行为。另外之前看到有资料用递减的事件序列来证明CDF右连续性，我就是搞不懂为什么非得用递减序列。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TopoSet32