等模互异复数不等式证明的推导卡壳求助

各位大佬好，我在证明下面这个不等式的时候卡住了，想请教下接下来该怎么推进：

已知三个互异的非零复数 (a, b, c) 满足 (|a| = |b| = |c| > 0)，求证：
$$\sum_{\text{cyclic}} |(a+b)(b-c)(c-a)|^2\ \geq \left|\sum_{\text{cyclic}} (a-b)(b+c)(c+a)\right|^2$$

我已经完成了以下推导步骤：

1. 两边同时除以 (|(a+b)(b+c)(c+a)|^2)，不等式简化为：
   $$\sum_{\text{cyclic}} \left|\frac{b-c}{b+c}\right|^2 \cdot \left|\frac{c-a}{c+a}\right|^2 \geq \left|\sum_{\text{cyclic}} \left(\frac{a-b}{a+b}\right)\right|^2$$

2. 利用复数的三角形式，设 (a=r(\cos t_1 + i\sin t_1))，(b=r(\cos t_2 + i\sin t_2))，(c=r(\cos t_3 + i\sin t_3))（(r>0)），通过三角恒等式化简可得：
   $$\frac{a-b}{a+b} = i\tan\left(\frac{t_1-t_2}{2}\right)$$
   代入后原不等式转化为实变量的三角不等式：
   $$\sum_{\text{cyclic}} \left(\tan\left(\frac{t_1-t_2}{2}\right)\right)^2 \cdot \left(\tan\left(\frac{t_1-t_3}{2}\right)\right)^2 \geq \left(\sum_{\text{cyclic}} \tan\left(\frac{t_2-t_3}{2}\right)\right)^2$$

3. 为了进一步简化变量，令 (x = \frac{t_1 - t_2}{2})，(y = \frac{t_2 - t_3}{2})，(z = \frac{t_3 - t_1}{2})，显然满足 (x+y+z=0)，此时需要证明的不等式变为：
   $$\sum_{\text{cyclic}} (\tan x)^2 \cdot (\tan y)^2 \geq \left(\sum_{\text{cyclic}} \tan z\right)^2$$

到这里我就卡壳了，不知道该怎么处理这个关于(\tan x, \tan y, \tan z)（且满足(x+y+z=0)）的不等式，有没有大佬能给点思路或者下一步的推导方向？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math.enthusiast9