关于Congruence相关定理补全及cases proof合理性的技术问询

各位好，我现在卡在两个和**同余（congruence）**相关的问题上，主要是定义本身和证明里分情况讨论的逻辑，下面拿一个具体例子来辅助说明我的疑问：

首先，我笔记里记了一个和同余相关的定理，但我怀疑自己当时抄漏了内容，现有的内容是：

定理：$\forall a \in \mathbb{Z}, n \in \mathbb{N}, \exists q \in \mathbb{Z}, r \in {0,1,...,(n-1)},\textrm{such that},a= nq+r$

我总觉得这个表述不完整，有没有人能帮我确认或者补全这个定理的正确内容？

其次，我不太理解为什么在证明命题“若 $a \in \mathbb{Z}$，则 $a^3 \equiv a\ (\textrm{mod}\ 3)$”的时候，需要用到分情况讨论的方法？能不能有人解释下这里分情况的必要性和逻辑？

我看到的证明里列出了这几种情况：
\begin{align}
a & \equiv r\ (\textrm{mod}\ 3)\\
a^3 &\equiv 0\ (\textrm{mod}\ 3)\
a^3 &\equiv 1\ (\textrm{mod}\ 3)\
a^3 &\equiv 2\ (\textrm{mod}\ 3)
\end{align}

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ziggy