带右预条件的迭代求解器：矩阵显式处理与迭代应用的迭代次数差异

我在使用Eigen库求解Ax = b时，采用右预条件（形式为[A M^(-1)] Mx = b）的两种实现方式，迭代次数差异显著：

• 显式预计算A M^(-1)后求解；
• 预分解M并在每次迭代中对Mx的猜测值应用预条件。

问题背景与实现细节 #

需求是求解离散PDE数值方法得到的稠密矩阵A对应的线性方程组Ax = b，矩阵A规模为10000×10000至22000×22000。采用Eigen的BiCGStab迭代求解器，通过稀疏预条件器M将问题转化为求解A M^(-1) y = b（其中y = Mx）。

案例1：显式预计算A M^(-1) #

对小规模问题显式计算A M^(-1)后，使用以下求解器：

Eigen::BiCGSTAB<MatrixType, Eigen::IdentityPreconditioner> solver;

达到1e-3相对容差仅需20-60次迭代（使用IdentityPreconditioner避免额外预条件）。

案例2：矩阵自由形式实现右预条件 #

参考Eigen文档设置自定义矩阵-向量乘积：预分解M（调用SparseLU的compute()方法），每次迭代先求解Mz = y得到z，再计算Az。此时迭代次数大幅增加，部分情况为案例1的2-4倍，甚至1000次迭代仍无法达到1e-3容差。

核心疑问 #

已知A的条件数为900-1e7，显式计算的A M^(-1)条件数为100-1e6，但即使A M^(-1)条件数在100-900范围内，案例2的迭代次数仍远超案例1（如20次vs>1000次）。有两个核心疑问：

1. 这种迭代次数差异是否属于数值线性代数的预期结果？是否反映矩阵存在缩放、条件数相关的问题？如何将（未）预条件系统的条件数与预期迭代次数关联？
2. 是否是Eigen库的使用方式有误？比如多次调用SparseLU的solve()是否存在问题？查阅Eigen SparseLU文档未发现异常。

注：改用GMRES时差异大多较小，但部分情况仍有2倍差异。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者josh_eime