使用Sagemath的solve函数时遗漏解的问题排查与解决

问题背景 #

使用SageMath的solve函数求解一组方程组时，仅得到4组满足s5=0的解，但手动求解发现存在s1=0且s3=0的解；显式代入s5的取值后再次调用solve，得到了另外2组不同的解。针对该现象，解答以下问题：

1. 现象成因是什么？ #

SageMath的solve函数默认依赖符号代数求解器（如Maxima），这类求解器处理高次、非线性方程组时，会通过消元、因式分解等策略简化问题，但当方程组存在隐含因式分支时，求解器可能因消元顺序、分支优先级选择的问题，遗漏部分分支的解。

具体到你的方程组：

• 第4个方程可提取公因子600*s5²，化简为：16*s1²*s3² + (9*s1² + 6*s1*s3 + s3²)*s5² - 8*(3*s1²*s3 + s1*s3²)*s5 = 0
• 当s5=0时，方程简化为16*s1²*s3²=0，但结合前两个方程，此时s1和s3不能同时为0（否则前两个方程变为18*s5²-1=0，与s5=0矛盾），求解器优先处理了s5=0的分支，得到4组解。
• 当s1=0且s3=0时，代入第4个方程自动成立，同时前两个方程可解出s5=±√2/6，但求解器在自动消元过程中未优先考虑该分支，导致这部分解被遗漏。

2. 如何确认solve函数已找到全部解？ #

可通过以下方式验证：

• 分情况讨论：手动分析方程组的因式分解情况，将其拆分为不同分支（如s5=0、s1=0、s3=0等），分别调用solve求解后合并结果。
• 代入验证：将所有找到的解代入原方程组，确认是否满足所有方程；同时对可能存在解的分支（如s1=0、s3=0）单独求解，检查是否有遗漏。
• 数值求解辅助：使用solve的数值求解模式（如添加to_poly_solve=True参数，或调用find_root），在合理范围内搜索数值解，再转换为符号解对比。

3. 是否可以通过调整参数或方程，让solve函数一次性找到全部6组解？ #

可以通过以下方法实现：

• 预处理方程组：对高次方程进行因式分解，显式拆分分支。比如将第4个方程因式分解后，拆分为s5=0和16*s1²*s3² + (9*s1² + 6*s1*s3 + s3²)*s5 - 8*(3*s1²*s3 + s1*s3²)=0两个分支，分别与其他方程组合求解后合并结果。
• 调整solve参数：尝试添加to_poly_solve=True参数，该参数调用基于多项式理想的求解器，更适合处理多变量非线性方程组，可能找到更多分支的解。示例代码：

print(solve(eqs, [s3, s5, s1, s6], to_poly_solve=True))

• 调整变量求解顺序：改变求解变量的顺序，比如先求解s1和s3，再求解s5和s6，可能引导求解器优先处理s1=0或s3=0的分支：

print(solve(eqs, [s1, s3, s5, s6]))

示例代码与输出 #

代码 #

var("s3 s5 s1 s6")
eqs = [
    8*s3^2 - 16*s3*s5 + 18*s5^2 - 1 == 0,
    48*s1^2 - 36*s1*s5 + 18*s5^2 - 1 == 0,
    1/25*sqrt(5)*(40*sqrt(5)*s3^2 + 5*sqrt(5)*s6^2 + 10*sqrt(3)*sqrt(2)*s3 - 10*(sqrt(5)*sqrt(3)*s3 + sqrt(2))*s6 - 3*sqrt(5)) == 0,
    9600*s1^2*s3^2*s5^2 + 600*(9*s1^2 + 6*s1*s3 + s3^2)*s5^4 - 4800*(3*s1^2*s3 + s1*s3^2)*s5^3 == 0,
    80/9*s3^4 + 40/9*(4*sqrt(5)*sqrt(3)*sqrt(2)*s3^3 + 15*s3^4 + 8*s3^2)*s5^2 + 200/9*(s3^4 - 4*s3^3*s5 + 4*s3^2*s5^2)*s6^2 - 80/9*(sqrt(5)*sqrt(3)*sqrt(2)*s3^4 + 4*s3^3)*s5 - 80/9*(sqrt(5)*sqrt(2)*s3^4 + 2*(5*sqrt(3)*s3^3 + 2*sqrt(5)*sqrt(2)*s3^2)*s5^2 - (5*sqrt(3)*s3^4 + 4*sqrt(5)*sqrt(2)*s3^3)*s5)*s6 == 0]
print("Solve for 4 vars")
print(solve(eqs, [s3, s5, s1, s6]))
print("Set one var and solve for other")
print(solve([eq.subs(s5=sqrt(2)/6) for eq in eqs], [s3, s1, s6]))

输出 #

Solve for 4 vars
[
[s3 == -1/4*sqrt(2), s5 == 0, s1 == -1/12*sqrt(3), s6 == 1/5*sqrt(10)],
[s3 == -1/4*sqrt(2), s5 == 0, s1 == 1/12*sqrt(3), s6 == 1/5*sqrt(10)],
[s3 == 1/4*sqrt(2), s5 == 0, s1 == -1/12*sqrt(3), s6 == 1/5*sqrt(10)],
[s3 == 1/4*sqrt(2), s5 == 0, s1 == 1/12*sqrt(3), s6 == 1/5*sqrt(10)]
]
Set one var and solve for other
[
[s1 == 0, s3 == 0, s6 == 1/5*sqrt(5)*sqrt(2) - 1],
[s1 == 0, s3 == 0, s6 == 1/5*sqrt(5)*sqrt(2) + 1]
]

内容的提问来源于Stack Exchange，提问作者nvcleemp