Ansible剧本执行date命令后仅保存单台主机输出问题求助

嗨，我遇到个Ansible的小问题，想请大家帮忙看看～

我写了一个剧本，想在所有主机上执行date命令，把每台主机的日期输出都保存到本地的date.txt文件里，但结果只保存了其中一台主机的内容，其他主机的输出都没加上去。

这是我写的剧本代码：

- name: Check date output
  hosts: all
  tasks:
    - name: date command
      shell: "date"
      register: date_output

    - debug: msg="{{inventory_hostname}}:{{ date_output.stdout }}"

    - name: Save the message in output.txt
      lineinfile:
        path: ./date.txt
        line: "{{inventory_hostname}}:{{ date_output.stdout }} \n"
      delegate_to: localhost

我本来以为lineinfile模块会把每台主机的内容追加到文件里，但实际只留下了最后一台执行的主机的输出？或者是不是哪里参数用错了？有没有大佬能指点一下怎么修改才能让所有主机的日期输出都保存到这个文件里呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user20860852