舍入误差对冯·诺依曼稳定性分析的影响

我正在研究一维热方程的显式有限差分格式，目标是分析Float16精度下计算时舍入误差的影响。

更新公式为：
u_i^(n+1) = u_i^n + r (u_(i+1)^n - 2 u_i^n + u_(i-1)^n)
其中 r = a*Δt/Δx²

所有运算采用浮点数，需要对计算值ũ_i^(n+1)建模并用于冯·诺依曼稳定性分析。给定的浮点数模型如下：

• 加法/减法：fl(x ± y) = x(1+α) ± y(1+β)，其中|α|, |β| ≤ u
• 乘法/除法：fl(x op y) = (x op y)(1+δ)，其中|δ| ≤ u，op ∈ {*, /}
  这里的u为单位舍入误差。

两种误差建模方法 #

方法1——单一扰动公式 #

ũ_i^(n+1) = ũ_i^n + r * ( ũ_(i+1)^n * (1+ε₁) - 2*ũ_i^n * (1+ε₂) + ũ_(i-1)^n * (1+ε₃) ) * (1+ε₄)
该方法未遵循浮点运算的精确顺序，规范性不足。

方法2——分步建模 #

t1 = fl(2 u_i^n)
t2 = fl(u_{i+1}^n - t1)
t3 = fl(t2 + u_{i-1}^n)
t4 = fl(r * t3)
u_i^{n+1,fl} = fl(u_i^n + t4)

直觉上该方法更严谨，但不确定是否为舍入误差分析的正确框架。

技术问题 #

• 该格式在Float16下适用的浮点数误差模型是什么？
• 采用分步模型进行舍入误差分析是否合理？
• 如何将其融入冯·诺依曼稳定性分析？
• 舍入误差是否会修改常规CFL条件r ≤ 1/2？若会，具体如何影响？

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kim Raven