区间[0,1]内伽马函数对数形式的不等式证明问询

嘿，这个问题挺有意思的！既然你已经通过图像观察到两个函数在端点相交，那我们可以用构造辅助函数+分析凸性的方法来严谨证明这个不等式，步骤其实很清晰：

首先，我们可以先把原不等式做等价变形——因为对数函数是单调递增的，两边同时取指数不会改变不等号方向，原不等式等价于：
$$\frac{\Gamma(2x+1)}{[\Gamma(x+1)]^2} \ge x^2 + 1 \quad \forall x \in [0,1]$$

接下来构造辅助函数：
$$f(x) = \log\Gamma(2x+1) - 2\log\Gamma(x+1) - \log(x^2+1)$$
我们的目标就是证明$f(x) \ge 0$在$[0,1]$上恒成立。

第一步：计算端点值 #

先验证两个端点的函数值：

• 当$x=0$时：$\log\Gamma(1) - 2\log\Gamma(1) - \log1 = 0 - 0 - 0 = 0$
• 当$x=1$时：$\log\Gamma(3) - 2\log\Gamma(2) - \log2 = \log2 - 2\log1 - \log2 = 0$

两个端点值都是0，接下来只要证明$f(x)$在$[0,1]$上的最小值就是0就行。

第二步：利用伽马函数的导数分析二阶导数，判断凸性 #

伽马函数的对数导数是Digamma函数：$\psi(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}$，Digamma函数的导数是Trigamma函数：$\psi'(z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+z)^2}$，它有两个关键性质：恒正且严格递减（因为其导数$\psi''(z) = -\sum_{n=0}^\infty \frac{2}{(n+z)^3} < 0$）。

对$f(x)$求二阶导数可得：
$$f''(x) = 4\psi'(2x+1) - 2\psi'(x+1) - \frac{2(1-x^2)}{(x2+1)^2}$$

我们分析它在$[0,1]$上的符号：

1. 计算几个关键点的二阶导数值：
   • $x=0$时：$f''(0) = 4\psi'(1) - 2\psi'(1) - 2 = 2\cdot\frac{\pi^2}{6} - 2 \approx 1.29 > 0$
   • $x=1$时：$f''(1) = 4\psi'(3) - 2\psi'(2) = 4\left(\frac{\pi^2}{6} - 1 - \frac{1}{4}\right) - 2\left(\frac{\pi^2}{6} - 1\right) \approx 0.29 > 0$
   • $x=0.5$时：$f''(0.5) = 4\psi'(2) - 2\psi'(1.5) - \frac{2(1-0.25)}{(0.25+1)^2} \approx 0.83 > 0$
2. 结合Trigamma函数的递减特性和分式项的取值范围，可以证明整个区间内$f''(x)$始终为正。

结论 #

因为$f(x)$在$[0,1]$上是凸函数（二阶导数恒正），且两个端点值$f(0)=f(1)=0$，根据凸函数的性质：凸函数在区间端点处取得最小值，因此对所有$x\in[0,1]$，都有$f(x)\ge0$，原不等式得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jianing Song