含双曲正切与反双曲正切的定积分求解及等价形式技术求助

各位大佬好，我卡在这个定积分的求解问题上已经整整一个月了，试过各种方法都没突破自己的知识边界，所以特意来这里求助！

核心需求 #

我需要找到这个定积分的任意形式解（闭式解/递推积分/特殊函数表达等等都可以），或者至少一个足够好用的近似：
$$
\int\limits_{\scriptsize 0}^{\scriptsize y}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2},\tanh\left(a\cdot,\operatorname{atanh}\left(2,x-1\right)+b\right)}{;\mathrm{d}x}
$$
参数约束：$a>0$，$x$的定义域为$[0,1]$。

化简后的等价积分形式 #

经过推导，我把原始积分转化成了下面的形式，可能更容易处理：
$$
\int_0^{y{\frac{1}{1+c,\left(\frac{1-x}{x}\right)}{a}}}{;\mathrm{d}x}
$$
参数对应关系：$a>0$，$c=e^{-2b}$且$c>0$，$x\in[0,1]$。

已尝试的方法及遇到的瓶颈 #

• 泰勒/麦克劳林级数展开：完全达不到需求——当$a$取值较大时，级数的收敛半径极小；而且以0为中心的麦克劳林级数在某些$b$值下直接失效。
• 留数法：我尝试过做变量替换 $u=\operatorname{atanh}\left(\frac{2x}{y}-1\right)$，把积分上下限转化为$(-\infty,\infty)$，根据Jordan引理，半圆弧上的积分会消失，理论上只要计算实轴上的留数就行。但问题是函数的奇点有无穷多个，分布在$0+i\left(\frac{\pi}{2}+k\pi\right)$（$k$为整数），无穷多个留数组成的级数根本无法收敛，这条路走不通。
• 无穷级数展开转化：我把积分拆成了无穷级数的形式：
  $$
  \int_0^{y{\frac{1}{1+c,\left(\frac{1-x}{x}\right)}{a}}}{;\mathrm{d}x}=\sum_n{(-c)^n\int_0y{\left(\frac{1-x}{x}\right)^{{an}}{;\mathrm{d}x}}=\sum_n{(-c)}nB(y,1-an,1+an)}
  $$
  最后得到了含不完全Beta函数的级数，但我完全不知道怎么把这个级数“还原”成更简洁的形式，比如分式或者其他可计算的函数表达。这里想问一下，有没有某个函数$f$能满足：
  $$
  B(y,1-an,1+an)=f^n(B(y,A,B))
  $$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kamyxx