关于通过拉姆齐定理证明范德瓦尔登定理的可行性及相关子集染色构造的技术问询

各位大佬好，最近我在研究组合数学里的两个经典定理——范德瓦尔登定理和拉姆齐定理，发现它们的结构非常相似，于是萌生了一个疑问：能不能用拉姆齐定理来证明范德瓦尔登定理？先把两个定理的内容梳理清楚，再说说我的思路和卡住的地方。

范德瓦尔登定理（Van der Waerden's Theorem） #

给定正整数$r$和$k$，存在某个正整数$N$，使得当整数集合${1, 2, \dots, N}$中的每个元素被染成$r$种颜色之一时，必然存在至少$k$个元素构成的单色等差数列。

这个定理常被描述为“类拉姆齐定理”，也就是和拉姆齐定理结构相似的结果。

拉姆齐定理（Ramsey's Theorem） #

先来看基础版本：

给定正整数$r$和$k$，存在某个正整数$N$，使得当完全图$K_N$的每个顶点被染成$r$种颜色之一时，必然存在一个单色$k$-团。

两者的相似性一目了然：都是关于染色集合中“不可避免的结构”的结论。拉姆齐定理之所以能成为这类结果的代表，是因为很多类似结论都是它的推论。但我从来没见过用拉姆齐定理证明范德瓦尔登定理的方法，所以想知道这是否可行。

可能更强版本的拉姆齐定理会派上用场，也就是超图拉姆齐定理：

给定正整数$r$、$k$和$n$，存在某个正整数$N$，使得当集合${1, 2, \dots, N}$的所有$n$元子集被染成$r$种颜色之一时，必然存在一个大小为$k$的齐次集（homogeneous set）。

这里的齐次集指的是：该集合的所有$n$元子集都同色。注意基础版本的拉姆齐定理就是$n=2$的情况（对应完全图的边染色，$2$元子集就是边）。

我的核心问题 #

具体来说，我想搞清楚：
给定正整数$r, k, n$和足够大的$N$，当${1, 2, \dots, N}$的元素被染成$r$种颜色之一时，能不能给它的所有$n$元子集设计一种染色方式，使得任何大小为$k$的齐次集都是单色等差数列？

关于“单色”这一点其实不难保证：我们可以先取$k > rn$，然后给$n$元子集染色——如果子集里的元素颜色不全相同，就染成白色；否则染成对应元素的颜色。根据鸽巢原理，不存在大小为$k$的白色齐次集（因为$k > rn$，任何$k$元集合里至少有$\lceil k/r \rceil > n$个元素同色，总能找到一个同色的$n$元子集，不会全是白色），所以所有大小为$k$的齐次集必然是单色的。

现在的问题是：能不能通过这种子集染色的设计，迫使齐次集必须是等差数列？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alma Arjuna