关于不用莱布尼茨法则求解积分$\int_0^1 \frac{x^a - 1}{\ln{}x} dx$的错误分析及其他解法咨询

嗨，我来帮你梳理一下推导里的问题，再分享几个不用莱布尼茨法则的可行解法。

你的推导错误在哪里？ #

你把原积分拆成了两个积分的差，然后试图通过变量替换让它们抵消，但这里的核心问题是：拆分后的两个积分各自都是发散的。

具体来说，当$x$趋近于1时，$\ln x \approx x-1$，所以$\frac{1}{\ln x} \approx \frac{1}{x-1}$，而积分$\int_0^1 \frac{1}{x-1}dx$是发散的（趋向于负无穷）。你拆分出来的$\int_0^1 \frac{x^a}{\ln x}dx$和$\int_0^1 \frac{1}{\ln x}dx$都属于这种发散积分，$\infty - \infty$是不定式，不能直接粗暴地抵消——这就像你不能随便把两个趋向无穷的量直接相减得到0，必须用更严谨的方式处理整体的极限或积分。

不用莱布尼茨法则的解法 #

解法1：转化为Frullani积分 #

我们可以通过变量替换把原积分转化为标准的Frullani积分形式：
令$t = -\ln x$，则$x = e^{-t}$，当$x=0$时$t\to+\infty$，$x=1$时$t=0$，$dx = -e^{-t}dt$。代入原积分后整理：
$$
\int_0^1 \frac{x^a - 1}{\ln x}dx = \int_0^\infty \frac{e^{-t} - e^{-(a+1)t}}{t}dt
$$
这就是经典的Frullani积分，对于$\int_0^\infty \frac{e^{-pt} - e^{-qt}}{t}dt = \ln\left(\frac{q}{p}\right)$，这里取$p=1$，$q=a+1$（要求$a>-1$，否则积分发散），直接得到结果：
$$
\ln(a+1)
$$

解法2：幂级数展开逐项积分 #

当$a>-1$且$x\in(0,1)$时，我们可以把$x^a$展开成泰勒级数：
$$
x^a = e^{a\ln x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a\ln x)^n}{n!}
$$
减去1后得到：
$$
x^a - 1 = \sum_{n=1}^\infty \frac{a^n (\ln x)^n}{n!}
$$
代入原积分，由于级数在$(0,1]$上一致收敛（可用魏尔斯特拉斯判别法验证），我们可以逐项积分：
$$
\int_0^1 \frac{x^a -1}{\ln x}dx = \sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{n!} \int_0^1 (\ln x)^{n-1}dx
$$
利用积分公式$\int_0^1 (\ln x)^k dx = (-1)^k k!$（通过变量替换$t=-\ln x$转化为Gamma函数积分），代入后化简：
$$
\sum_{n=1}^\infty \frac{a^n}{n!} \cdot (-1)^{n-1}(n-1)! = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}an}{n}
$$
这个级数正是$\ln(1+a)$的泰勒展开式，因此最终结果为$\ln(a+1)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jinansh Dalal