关于使用图解法求解特定线性规划问题（LPP）的技术问询及结论验证

嘿，我来帮你理清这个线性规划问题里的矛盾点，把两种结论的来龙去脉说清楚～

首先先明确我们要解决的原问题：
$$\text{Maximize } z = 3x_1 + 2x_2$$
约束条件：
\begin{align}
x_1 - x_2 &\geqslant 1\
x_1 + x_3 &\geqslant 3 \
x_1, x_2, x_3 &\geqslant 0
\end{align}

接下来拆解两种不同结论的核心原因：

为什么会说“可行域是无界的”？ #

这个结论是完全正确的。因为我们的问题是**三维变量（$x_1,x_2,x_3$）**的线性规划，从约束条件就能看出来可行域的无限延伸性：

• 由$x_1 + x_3 \geqslant 3$和$x_3 \geqslant 0$，只要$x_1$不断增大，$x_3$可以取$x_1-3$（满足约束）或者更大的正值；
• 同时$x_1 - x_2 \geqslant1$意味着$x_2 \leqslant x_1 -1$，当$x_1$无限增大时，$x_2$也可以跟着无限增大（只要不超过$x_1-1$）。
  所以在三维空间里，这个可行域是向$x_1$和$x_2$增大的方向无限延伸的，确实是无界区域。

为什么会出现“$Z_{\text{max}}$为13在$(3,2,0)$”的结论？ #

这个结论是错误的，大概率是来源搞错了约束条件（比如把$x_1 + x_3 \geqslant 3$误写成了$x_1 + x_3 \leqslant 3$）。我们来分析原问题的目标函数：
目标函数$z=3x_1+2x_2$里根本不包含$x_3$，所以$x_3$的取值不影响$z$的大小——只要满足$x_1 + x_3 \geqslant3$，我们完全可以让$x_3$取最小的满足值（比如$x_3=\max(0,3-x_1)$），把问题简化为二维变量（$x_1,x_2$）的分析：
简化后的约束是：

• $x_1 \geqslant3$（因为如果$x_1<3$，$x_3=3-x_1>0$，但$x_1$越大对目标函数越有利，所以我们只需要关注$x_1\geqslant3$的情况）
• $0 \leqslant x_2 \leqslant x_1 -1$

此时看目标函数$z=3x_1+2x_2$：对于任意一个足够大的$x_1$，我们都可以取$x_2=x_1-1$，此时$z=3x_1+2(x_1-1)=5x_1-2$——显然$x_1$可以无限增大，$z$也会跟着无限增大，根本不存在最大值。

如果把约束改成$x_1 + x_3 \leqslant3$，那$x_1$最大只能取3，此时$x_2$最大取$3-1=2$，$z=33+22=13$，这时候才会得到那个结果，但这和原问题的约束不符。

最终结论 #

• 原问题的可行域确实是无界的；
• 目标函数$z$没有最大值，可以无限增大；
• 给出“$Z_{\text{max}}=13$”的来源一定是误改了约束条件。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Taylor