金字塔酒杯填充速率及开始填充所需倒酒次数的方程求解问询

我最近在研究一个酒杯金字塔的填充问题，想推导对应的方程来计算两个关键内容：一是每个酒杯的填充速率，二是某个酒杯需要等到倒多少次酒之后才会开始被填充。

先给大家看看填充速率的金字塔示例：

1 (1)

2 (1/2) (1/2)

3 (1/4) (2/4) (1/4)

4 (1/8) (3/8) (3/8) (1/8)

5 (1/16) (4/16) (6/16) (4/16) (1/16)

6 (1/32) (5/32) (10/32)(10/32) (5/32) (1/32)

这个金字塔的规则是：当最顶端的酒杯被倒满后，一半的酒液会流到左侧的酒杯，另一半流到右侧的酒杯，以此类推，上面的酒杯满了之后就会均分酒液给下方左右两个酒杯。

我先从填充速率的方程入手，分母的规律很容易看出来，但分子部分就难住我了。因为这个金字塔是左右对称的，所以我可以只看左侧的部分，整理出分子的序列：

1| 1
2| 1
3| 1 2
4| 1 3
5| 1 4 6
6| 1 5 10
7| 1 6 15 20
8| 1 7 21 35
9| 1 8 28 56 70
10| 1 9 36 84 126

我能看出每一列的规律，已经写出了前几列的方程：

• 第1列：$1$
• 第2列：$n-1$
• 第3列：$\frac{1}{2}(n-2)^2 + \frac{1}{2}(n-2)$

但到第4列及以后就卡住了，我不太了解三次、四次序列相关的推导方法，而且最终我还需要把这些列的方程整合到一个统一的式子中。我想问问大家，这种按列推导再整合的思路，是不是用方程模拟这个填充过程的正确方向？我的最终目标是，只通过方程就能计算出给定倒酒次数时，某个酒杯里的酒液量。

后来我自己推导出了填充速率的方程：
$$(n,k)=\frac{\frac{n}{k-1}*\frac{n+1−k}{k}}{2^{n-1}}$$

现在我又遇到了新的问题：想推导每个酒杯开始被填充所需的倒酒次数的方程，对应的序列如下：

0
1 1
3 3 3
7 5 5 7
15 23/3 23/3 23/3 15

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Billy1301