关于将π替换为截断BBP逼近序列后，积分衍生序列Jₙ的收敛性与上界的技术问询

咱们先来明确核心的积分定义与相关表达式：

对于正整数$n$，定义积分$I_n$为：
$$
I_n=\int_0^1 \frac{(x-x²⁾n}{n!} \pi^x\lnn\pi : dx
$$
该积分可展开为如下形式：
$$
I_n=\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{\ln^{k+1}(\pi)} ( \pi p_k(\ln\pi) - k! ) \tag{1}
$$
其中$a_0,a_1,...,a_n$为整数，$p_0(\ln\pi),p_1(\ln\pi),...,p_n(\ln\pi)$分别是次数为$0,1,...,n$的多项式（在$\ln\pi$处取值）。已知$I_n>0$、始终收敛，且$\lim_{n\to\infty}I_n=0$。

核心问题：替换π为截断逼近序列后的收敛性 #

如果把表达式(1)中的$\pi$替换为一个收敛到$\pi$的截断序列$S_n$，我们得到衍生序列$J_n$：
$$
J_n=\sum_{k=0}^n \frac{a_k}{\ln^{k+1}(\pi)} ( S_n p_k(\ln\pi) - k! )
$$

这里我们选取截断BBP公式构造$S_n$：
$$
S_{n}=\sum_{k=0}^{f(n)}\left( \frac{4}{16^k(8k+1)}

• \frac{2}{16^k(8k+4)}
• \frac{1}{16^k(8k+5)}
• \frac{1}{16^k(8k+6)}\right)
  $$
  其中$f(n)$需要满足如下极限条件：
  $$
  \lim_{n\to\infty} \frac{16^{f(n)}e{8f(n)}}{n!}=0. \tag{2}
  $$

已观察到的现象 #

• 当选择糟糕的$f(n)$（比如$f(n)=n$）时，$S_n$逼近$\pi$的速度极慢，导致$J_n$会发散到$\pm\infty$。例如$n=100$时，$f(100)=100$得到的$S_n$对$\pi$的逼近效果很差，此时$I_{100}\approx7.7472\times10^{{-241}$，但$J_{100}\approx-3.2990\times10}{84}$，二者差距极大。
• 当选择$f(n)=\lfloor n(\ln n)^{{0.99}\rfloor$时，条件(2)成立（已用SageMath验证），$S_n$的逼近效果大幅提升：例如$n=100$时$f(100)=453$，此时$J_{100}\approx7.7472\times10}{-241}$，和$I_{100}$相比有75位正确数字。

待解决的问题 #

1. 选择$f(n)=\lfloor n(\ln n)^{0.99}\rfloor$时，由截断BBP公式生成的$S_n$是否能保证$J_n$始终收敛，即$\lim_{n\to\infty}J_n=0$？
2. 此时$J_n$与$I_n$的差距有多近？
3. 若上述答案为否，是否存在满足条件(2)的$f(n)$，使得$J_n$在$n\to\infty$时始终收敛？另外，还需要$J_n$的上界估计（已知$I_n$的上界）。

示例：n=2的具体情况 #

对于$n=2$，$I_2$的表达式为：
$$
I_2= \frac{12 (-1 + π) - 6 (1 + π) \log(π) + (-1 + π) \log^2(π)}{\log3(π)} \approx 0.0396
$$
对应的$S_2$由$f(2)=1$生成：
$$
S_{2}=\sum_{k=0}^{1}\left( \frac{4}{16^k(8k+1)}

• \frac{2}{16^k(8k+4)}
• \frac{1}{16^k(8k+5)}
• \frac{1}{16^k(8k+6)}\right)=\frac{102913}{32760}
  $$
  代入得到$J_2$：
  $$
  J_2= \frac{12 (-1 + 102913/32760) - 6 (1 + 102913/32760) \log(π) + (-1 + 102913/32760) \log^2(π)}{\log3(π)} \approx 0.0388
  $$

补充推导依据 #

对于$b>0$，有如下积分变换：
$$
\int_0^1 x^n b^x , dx = \int_0^1 x^n e^{\ln(b),x} , dx = \frac{1}{\ln^{n+1}(b)} \int_0^{\ln(b)} x^n e^x , dx
$$
若将$x^{n$替换为多项式$P_n(x)=\sum_{k=0}}n a_kx^k$，则：
$$
\int_0^1 P_n(x) b^x , dx = \sum_{k=0}^n \frac{a_k}{\ln^{k+1}(b)} \int_0^{\ln(b)} x^k e^x , dx
$$
其中$\int x^kexdx=e^xp_k(x)$，$p_k(x)$是次数为$k$的整系数多项式，且常数项为$k!$。从$0$到$\ln b$积分可得：
$$
\int_0^{\ln b} x^kexdx=bp_k(\ln b)-k!
$$

取$b=\pi$，结合多项式$P_n(x)=\frac{d^n}{dxn} \frac{(x-x²⁾n}{n!}$，通过$n$次分部积分（利用边界条件$f(a)g(a)=f(b)g(b)=0$）可验证$I_n$的表达式：
$$
\int_0^1 \frac{d^n}{dxn} \frac{(x-x²⁾n}{n!} \pi^x dx =(-1)^n \int_0^1 \frac{(x-x²⁾n}{n!} \pi^x\lnn\pi dx
$$
进而得到$I_n$的上界：
$$
|I_n|\leq \frac{1}{n!} \left(\frac{1}{4}\right)^n \ln^n\pi \frac{\pi-1}{\ln\pi}
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pinteco