寻求拉马努金关于戴德金η函数商的恒等式的初等证明

大家好，我最近在钻研拉马努金1916年发表于《Transactions of the Cambridge Philosophical Society》（第XXII卷第9期，159-184页）的论文《On certain Arithmetical Functions》，里面他轻描淡写地给出了几个恒等式，仿佛这些都是常识一样，但其中有一个我始终找不到不用模形式的初等证明，想在这里求助大家。

首先先列出这些恒等式：
$$\begin{align}
f(q) &= q^{12/24}-q^{52/24}-q^{72/24}+q^{112/24}+\dots\tag{1}\
f^3(q)&=q{1^2/8}-3q{3^2/8}+5q{5^2/8}-7q{7^2/8}+\dots\tag{2}\
\frac{f^5(q)}{f2(q^2)}&=q{1^2/24}-5q{5^2/24}+7q{7^2/24}-11q{11^2/24}+\dots\tag{3}\
\frac{f^5(q2)}{f^2(-q)}&=q{1^2/3}-2q{2^2/3}+4q{4^2/3}-5q{5^2/3}+\dots\tag{4}
\end{align}$$

这里的函数$f(q)$是戴德金η函数，定义为：
$$f(q) =q^{{1/24}(1-q)(1-q}2)(1-q^3)\dots\tag{5}$$
需要注意的是，恒等式里出现的$1,5,7,11,\dots$是不包含3的倍数的正奇数，而$1,2,4,5,\dots$是不包含3的倍数的正自然数。

另外关于$f(-q)$有个容易混淆的点：因为$f(q)$里有$q^{{1/24}$项，所以这里的$f(-q)$并不是直接把$q$替换成$-q$，而是保持$q}{1/24}$不变，只把后面的因子里的$q$换成$-q$，也就是：
$$q^{{1/24}(1-(-q))(1-(-q)}2)(1-(-q)^3)\dots$$

目前我已经理清了前几个恒等式的证明路径：

• 公式(1)和(2)其实就是著名的欧拉五边形数定理和雅可比恒等式，用雅可比三重积恒等式就能推导出来：
  $$\prod_{n=1}^{\infty}(1-q{2n})(1+q^{2n-1}z)(1+q{2n-1}z^{{-1})=\sum_{n=-\infty}}{\infty}z^nq{n^2}\tag{6}$$
• 公式(3)我之前在别的问题里看到过，用五重积恒等式就能证明，相关的证明已经有人给出了。

现在卡壳的是公式(4)，它的左边形式和(3)很像，直觉上应该也能用五重积恒等式来证，但我试了好几次都没成功。另外我注意到Robert J. Lemke Oliver在《Eta-quotients and theta functions》这篇论文里，把这个恒等式转换成了η函数的形式：
$$\frac{(\eta(3z)\eta(12z))^{2}{\eta(6z)}=\sum_{n=1}}{\infty}\left(\frac{n}{3}\right) nq^{n2}\tag{7}$$
（这里$q=\exp(2\pi i z)$，$\eta(z)=f(q)$），他用模形式的理论完成了证明，但我希望能找到不依赖模形式、更初等的证明方法，比如用乘积恒等式（像三重积、五重积这类）来推导。

有没有大神能指点一下这个思路？或者有没有其他初等技巧能用来证明这个恒等式？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Paramanand Singh