关于投影映射π₁:ℝ²→ℝ是否为商映射的技术问询

嘿，这个问题拆解下来好几个关键点，咱们一个个说清楚：

首先，投影映射$\pi_1:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$确实是商映射，你的方向完全对。咱们验证一下它的性质：

• 它是满射、连续的，这一点你已经看出来了，没问题；
• 它是开映射：随便取$\mathbb{R}^2$里的开集$U$，$\pi_1(U)$就是$U$在x轴上的投影，必然是ℝ里开区间的并集，也就是开集；
• 它不是闭映射，举个经典例子：集合${(x, 1/x) \mid x>0}$是$\mathbb{R}^2$里的闭集（它没有极限点落在自身之外），但它的投影是$(0, +\infty)$，这显然不是ℝ里的闭集，完美说明π₁不满足闭映射的条件。

然后你问：满射、连续加开映射是不是足以成为商映射？答案是是的。商映射的核心定义是：$f:X\to Y$是商映射当且仅当$f$满射连续，且$Y$中一个集合$V$是开集的充要条件是$f^{{-1}(V)$是$X$中的开集。如果$f$是开映射，那当$f}{-1}(V)$是开集时，$f(f^{{-1}(V))=V$（因为满射）必然是开集；反过来，$V$是开集的话，$f}{-1}(V)$肯定是开集（连续的定义），刚好满足商映射的双向条件。

接下来第二个核心问题：商映射不一定需要是开映射或者闭映射。这两个是比商映射更强的性质，商映射只需要满足“饱和开集被映射为开集”（或者等价的“饱和闭集被映射为闭集”），而不需要所有开/闭集的像都是开/闭集。比如存在一些商映射，既不是开的也不是闭的——比如把ℝ中的所有整数点粘合成一个单点的商映射，它就既不满足开映射也不满足闭映射的条件，但依然是商映射。

最后关于饱和开集的问题：当$f$是满射连续时，“饱和开集被映射到开集”是$f$成为商映射的充要条件。咱们理一理：

• 必要性：如果$f$是商映射，那么对于任何饱和开集$U$（即$f^{-1}(f(U))=U$），$f(U)$的原像就是$U$，是开集，根据商映射的定义，$f(U)$必须是开集；
• 充分性：如果$f$满射连续，且所有饱和开集的像都是开集，那对于$Y$中的集合$V$，若$f^{{-1}(V)$是开集，那$f}{-1}(V)$是饱和的（因为$f$满射，$f(f^{{-1}(V))=V$），所以$V=f(f}{-1}(V))$是开集；反过来$V$是开集时$f^{-1}(V)$是开集（连续），完全符合商映射的定义。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wroanee faruque