含幺环仅存平凡右理想时为除环的证明疑问

大家好，最近我在做I.N. Herstein的《Topics in Algebra》（第二版）第三章环论里的一道题（第139页），题目内容如下：

设$R$是含幺环，$R$不一定交换，且$R$仅有的右理想是$(0)$和$R$本身。证明$R$是除环。

我知道要证明这个结论，核心是要说明$R$的所有非零元素在乘法下构成群——也就是说，只需要证明每个非零元素都有乘法逆元。我目前的推导思路是这样的：

• 任取$a \neq 0 \in R$，考虑集合$aR = {ar \mid r \in R}$，这显然是$R$的一个右理想。
• 因为$a \neq 0$，所以$aR \neq (0)$，结合题目里“仅存平凡右理想”的条件，可得$aR = R$。
• 既然$aR = R$，而单位元$1 \in R$，所以必然存在某个$b \in R$，使得$ab = 1$。

到这里就卡住了！因为环不一定交换，$ab=1$只能说明$b$是$a$的右逆元，可我还需要证明$ba=1$，这样才能说明$b$是$a$的乘法逆元。这一步实在想不通，有没有朋友能给点思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Finley