关于某无穷乘积恒等式的非三角法证明及历史溯源问询

各位好，我最近碰到了一个有意思的无穷乘积恒等式：

$$1=\left(1+\dfrac{1}{3}\right)\cdot\left(1-\dfrac{1}{5}\right)\cdot\left(1-\dfrac{1}{7}\right)\cdot\left(1+\dfrac{1}{9}\right)\cdots$$

我计算了前几项的乘积，结果确实如预期般趋近于1。

我自己已经用三角学和魏尔斯特拉斯分解定理完成了这个恒等式的证明，但现在有两个问题想请教大家：

• 有没有不涉及三角学的替代方法可以推导这个恒等式？
• 这个恒等式在此之前有没有被人发现或记载过？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1211726