利用稠密性推导H¹(ℝᵈ)空间中函数的Sobolev不等式的相关问题

这个问题是从我之前的一个问题延伸出来的，我现在想证明下面这个不等式：

设 ( f \in H^{{1}(\mathbb{R}}{d}) )，( p^{} = \frac{2d}{d-2} )，则存在与 ( f ) 无关的常数 ( C > 0 )，使得：
$$ |f|_{L^{p{}}} \le C|\nabla f|_{L^{2}}$$

在我之前问题的评论里，有人指出这个不等式和Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式有关，比如Evans的教材里就给出了这个不等式的一般形式：
对所有 ( 1 \le p < d )，( p^{} = \frac{dn}{n-p} )，以及 ( f \in C_{c}^{{\infty}(\mathbb{R}}{d}) )，有：
$$|f|_{L^{p{}}} \le C |\nabla f|_{L^{p}}$$

可以看到，当 ( p=2 ) 时，这个一般形式就退化成我要证明的那个不等式了，唯一的区别在于，一般形式是针对紧支集光滑函数 ( C_{c}^{{\infty}(\mathbb{R}}{d}) ) 的，而我要证的是针对 ( H^{{1}(\mathbb{R}}{d}) ) 空间的函数。我想着能不能用稠密性论证来从一般形式推导出目标不等式，下面是我的思路草稿：

声明：我不想在推导过程中直接套用任何现成的Sobolev不等式结论。

我已经知道两个关键事实：

• 事实1：对任意 ( 1 \le p \le \infty )，( C_{c}^{{\infty}(\mathbb{R}}{d}) ) 在 ( L^{{p}(\mathbb{R}}{d}) ) 中稠密。
• 事实2：( C_{c}^{{\infty}(\mathbb{R}}{d}) ) 在 ( H^{{1}(\mathbb{R}}{d}) ) 中稠密（这里指的是 ( H^{{1}(\mathbb{R}}{d}) ) 拓扑下的稠密性）。

因为范数是连续函数，我在想能不能这样操作：
取 ( f \in H^{{1}(\mathbb{R}}{d}) )，显然 ( f \in L^{{2}(\mathbb{R}}{d}) )。然后取一列紧支集光滑函数 ( {\varphi_{n}}{n\in \mathbb{N}}\subset C{c}^{{\infty}(\mathbb{R}}{d}) )，使得 ( \varphi_{n} \to f ) 在 ( H^{{1}(\mathbb{R}}{d}) ) 中收敛——这意味着 ( \varphi_{n} \to f ) 在 ( L^{{2}(\mathbb{R}}{d}) ) 中收敛，同时 ( \nabla \varphi_{n} \to \nabla f ) 在 ( L^{{2}(\mathbb{R}}{d}) ) 中收敛，这两个收敛性我已经证明过了，可以直接用。

不过现在我遇到了两个问题：

1. 首先，为什么 ( f ) 一定属于 ( L^{p{}}(\mathbb{R}^{d}) ) 呢？毕竟只有先确定 ( f ) 在这个空间里，我们才能讨论它的 ( L^{p{}} ) 范数啊。
2. 其次，( \varphi_{n} \to f ) 在 ( L^{2} ) 中的收敛性能不能推出它们在 ( L^{p{}} ) 中也收敛？我的想法是，如果能得到这个收敛性，那就可以利用Gagliardo-Nirenberg-Sobolev不等式得到：
   $$\lim_{n\to \infty}|\varphi_{n}|_{L^{p{}}} = |f|{L^{p{*}}} \le C \lim{n\to \infty}|\nabla \varphi_{n}|{L^{2}} = C|\nabla f|{L^{2}}$$

不知道这个思路到底可行不可行？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者InMathweTrust