求证△ABC中BM=AN的几何问题求助

各位几何领域的朋友们，我最近卡在一道几何证明题上了，想请大家给点思路或者提示：

已知△ABC的内心为I，过A、I、B三点的圆分别交BC、AC于M、N两点，需要证明BM=AN。

我自己已经尝试了两个方向，但都没能推进下去：

• 首先我找到了圆AIB的圆心O，本来打算证明△BOM和△NOA全等——显然OB、OM、ON、OA都是这个圆的半径，长度相等，但我完全摸不着头绪怎么证明∠BOM=∠NOA；
• 后来我注意到四边形ANBM是圆内接四边形，也试着用托勒密定理、对角互补这些圆内接四边形的性质来推导，但还是没找到能直接指向BM=AN的线索。

有没有朋友能给点有用的思路或者小提示呀？提前谢谢大家了！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者math-physicist