关于Blaschke乘积B对应的BH²正交补的推导疑问求助

各位大佬好，最近我在研究Blaschke乘积相关的正交补问题时陷入了困惑，想请大家帮忙梳理一下问题出在哪里。

首先先明确已知的结论：

已知若 $B=\prod_{i=1}^{\infty} \frac{z-z_i}{1-\overline{z_i}z}$，其中所有 $z_1,z_2,\dots$ 互不相同且 $\sum_{i=1}^{\infty}(1-|z_n|)<\infty$，则 $(BH²⁾{\perp}=\overline{span}\left{\frac{1}{1-\overline{z_i}z} : i\in\mathbb{N}\right}$

接下来是我的推导过程：

• 我从 $(BH²⁾{\perp}\bigcap H^2$ 中任取一个元素 $f$，根据正交补的定义，对所有非负整数 $n=0,1,\dots$，都有内积 $<Bz^n, f>=0$。
• 把内积写成单位圆周上的积分形式就是：
  $$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} B(e^{i\theta}) e^{in\theta} \overline{f(e^{i\theta})} d\theta =0 \quad \forall n=0,1,...$$
• 由此我推导得出 $B\overline{f}\in H^2$，理由是：$B \overline{f}$ 属于 $L^2$，并且它所有的负傅里叶系数都是0。

这时候我想，既然 $(BH²⁾{\perp}$ 是 $\left{\frac{1}{1-\overline{z_i}z}\right}$ 的闭张成空间，那是不是可以取 $h(z)= \frac{1}{1-z_i \overline{z}}$（这里的 $h$ 是张成空间里的元素），然后得出 $B h \in H^2$？

但这里明显出现了矛盾，我举了个简单的例子：取 $B(z)= \frac{z-\frac{1}{2}}{1-\frac{z}{2}}$，那么 $\frac{z-\frac{1}{2}}{1-\frac{z}{2}} \cdot \frac{1}{1-\frac{\overline{z}}{2}}$ 并不是解析函数，显然不属于 $H^2$。

我肯定是在某个推导环节或者概念理解上出了错，希望各位能帮我指出问题所在，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Smita