方阵特征值证明求助：证明2不是矩阵A的特征值

嘿，我来帮你梳理下这个证明的思路，你已经迈出了关键的第一步，咱们接着往下走：

问题回顾 #

已知A、B是两个方阵，满足等式 $A + AB - 2B = 0$，证明2不是A的特征值。

你的尝试复盘 #

你假设2是A的特征值，那么存在非零向量$v$使得$Av=2v$，代入原等式后推导出$(A-2I)Bv=-2v$，这个方向完全没问题，咱们从这里继续深挖：

首先，因为$v$是非零向量，所以$-2v$也非零，这意味着$(A-2I)Bv \neq 0$，由此可以直接得出$Bv \neq 0$（如果$Bv=0$，左边就会是0，和右边非零矛盾）。

关键因式分解突破 #

其实咱们可以先对原等式做因式分解，会让问题变得更直观：
把原等式$A + AB - 2B = 0$变形为：
$$A - 2I + AB - 2B = -2I$$
左边提取公因式后得到：
$$(A - 2I) + (A - 2I)B = -2I$$
进一步整理为：
$$(A - 2I)(I + B) = -2I$$

推导矛盾完成证明 #

注意到$-2I$是可逆矩阵（它的逆矩阵是$-\frac{1}{2}I$），而两个矩阵的乘积可逆的充要条件是这两个矩阵都可逆。因此，$(A - 2I)$必须是可逆矩阵。

而一个矩阵$\lambda$是特征值的充要条件是$(A - \lambda I)$不可逆（即行列式为0）。这里$\lambda=2$时，$(A - 2I)$可逆，说明2不可能是A的特征值。

回到你之前的假设：如果2是A的特征值，那么$(A - 2I)$不可逆，但根据因式分解的结果，$(A - 2I)$必须可逆，这就产生了矛盾，因此假设不成立，2不是A的特征值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kantig Shoter