含多重对数函数的积分符号化求解请求

我之前在计算时发现下面这个积分的数值结果格外简洁，现在想请教各位能不能给出它的符号解：

$$i = \int_0^1 \frac{\text{Li}_2\left(\frac{i; t}{\sqrt{1-t^2}}+1\right)+\text{Li}_2\left(1-\frac{i ;t}{\sqrt{1-t^{2}}\right)}{\sqrt{1-t}2}} , dt$$

下面是我目前已经完成的推导步骤：

• 首先做变量替换 $t\to \sin(s)$，原积分转化为：
  $$i=\int_0^{\frac{\pi }{2}} (\text{Li}_2(i \tan (s)+1)+\text{Li}_2(1-i \tan (s))) , ds$$

• 接着利用多重对数函数的积分表示 $\text{Li}_2(z)= -\int_0^1 \frac{\log (1-x z)}{x} , dx$，将原积分转化为二重积分形式：
  $$i= \int_0^{\frac{\pi }{2}} \int_0^{1}f(s,x), dsdx$$
  其中$f(s,x)$的推导过程如下：
  $$
  \begin{aligned}
  f(s,x) &= -\frac{1}{x}(\log (1-x (1+i \tan (s)))+\log (1-x (1-i \tan (s))))\
  &= -\frac{1}{x}\log\left[(1-x (1+i \tan (s)))(1-x (1-i \tan (s)))\right] \
  &= \frac{1}{x}\log \left(x^2 \tan ^2(s)+(x-1)2\right)
  \end{aligned}
  $$

• 之后我把重点放在对$s$的积分上，定义：
  $$g(x) :=\int_0^{\frac{\pi }{2}} \log \left(x^2 \tan ^2(s)+(x-1)2\right) , ds$$
  我通过数值验证发现，对于所有$x \in(0,1)$，这个积分的值似乎都为0。另外我还做了变量替换$s\to \tan ^{-1}(t)$，将$g(x)$转化为：
  $$g(x) = \int_{0}^{\infty} \frac{\log \left(t^2 x^2+(x-1)2\right)}{t^2+1}, dt$$

到这里我就遇到了瓶颈，和最开始的问题陷入了类似的困境，希望各位能帮忙继续推导，给出原积分的符号解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dr. Wolfgang Hintze