关于序列$v_n=\frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$的差分符号匹配问题
嘿，这个问题挺有意思的！先给你个明确结论：是的，不管你给什么样的${-1,1}$符号序列$\epsilon$，都一定存在对应的实数$x$，满足对所有$n\geq1$，$\epsilon_n\left(v_{n+1}-v_n\right)\geqslant0$！
下面给你拆解一下思路，一步步看为什么：
首先我们先把$v_{n+1}-v_n$的表达式转化得更直观些，方便分析。已知$v_n = \frac{\lfloor nx \rfloor}{n}$，而$nx$可以拆成整数部分$\lfloor nx \rfloor$和小数部分${nx}$（也就是$nx = \lfloor nx \rfloor + {nx}$，其中${nx} \in [0,1)$），所以$v_n = x - \frac{{nx}}{n}$。
那差分$v_{n+1}-v_n$就可以写成：
$$
v_{n+1} - v_n = \left(x - \frac{{(n+1)x}}{n+1}\right) - \left(x - \frac{{nx}}{n}\right) = \frac{{nx}}{n} - \frac{{(n+1)x}}{n+1}
$$
这样一来，原条件$\epsilon_n\left(v_{n+1}-v_n\right)\geqslant0$就等价于：
$$
\epsilon_n\left(\frac{{nx}}{n} - \frac{{(n+1)x}}{n+1}\right) \geqslant 0
$$
说白了，就是要让$\frac{{nx}}{n} - \frac{{(n+1)x}}{n+1}$的符号和$\epsilon_n$完全一致（或者等于0，这也符合$\geqslant0$的要求）。
接下来核心就是怎么构造这样的$x$，这里用区间套归纳构造的思路最清晰：
初始步骤：
- 如果$\epsilon_1=1$，那我们随便选一个初始区间，比如$[0,1)$，因为此时$\frac{{x}}{1} - \frac{{2x}}{2}$要么是0（当${x}<0.5$），要么是0.5（当${x}\geq0.5$），都满足非负；
- 如果$\epsilon_1=-1$，那我们选初始区间$[0, 0.5)$，此时$\frac{{x}}{1} - \frac{{2x}}{2}=0$，满足非正。
归纳构造：
假设我们已经找到了一个区间$I_n = [a_n, b_n)$，使得所有$x\in I_n$都满足前$n$个条件。现在要根据$\epsilon_{n+1}$的符号，从$I_n$里选出一个子区间$I_{n+1}$，让里面的$x$满足第$n+1$个条件。- 对于$I_n$里的$x$，${nx}$是关于$x$的线性函数（因为$x\in[k/n, (k+1)/n)$时，${nx}=nx -k$），${(n+1)x}$也是分段线性的。我们可以把$I_n$拆成有限个更小的子区间，在每个子区间里，$\frac{{nx}}{n} - \frac{{(n+1)x}}{n+1}$的符号是固定的，只要选符号和$\epsilon_{n+1}$一致的那个子区间作为$I_{n+1}$就行。
区间套定理收尾：
每次选的子区间长度都会比上一个小（至少是原来的1/2或者1/(n+1)），根据实数的区间套定理，所有这些区间的交集里一定存在至少一个实数$x$，这个$x$就满足所有$n$对应的条件。
举个简单的例子，比如$\epsilon$是交替序列$1,-1,1,-1,...$：
- $n=1$，$\epsilon_1=1$，选$I_1=[0,1)$；
- $n=2$，$\epsilon_2=-1$，从$I_1$里选$I_2=[0,1/3)$，这里$\frac{{2x}}{2} - \frac{{3x}}{3}=0\leq0$，满足；
- $n=3$，$\epsilon_3=1$，从$I_2$里选$I_3=[1/4,1/3)$，这里$\frac{{3x}}{3} - \frac{{4x}}{4}=1/4\geq0$，满足；
- 就这样一步步缩小区间，最终得到的$x$就完全符合要求。
总之，不管$\epsilon$是什么样的符号序列，都能通过这种逐次缩小区间的方法找到对应的$x$。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Adren
