关于齐次不可约常返马尔可夫链首达时概率P(τ<∞)=1的证明思路正确性验证请求

首先，先明确问题背景：
给定齐次不可约常返马尔可夫链${X_n}_{n\in\mathbb{N}}$，状态空间$S=\mathbb{Z}$，定义首达时$\tau:=\inf{n\in\mathbb{N},: X_n\ge1}$（当不存在满足条件的$n$时，$\tau=\infty$），需要证明$\mathbf{P}(\tau<\infty)=1$。

你的思路核心分析 #

你的整体思路方向是完全正确的，核心逻辑是利用不可约常返链的互通性和常返性导出矛盾，不过部分细节可以更严谨、简洁一些，下面逐点拆解：

1. 事件分解的正确性
   你将${\tau=\infty}$分解为$\biguplus_{k\le 0,k\in\mathbb{Z}}{\tau_k=\infty}$（其中$\tau_k$是从$k$出发首次到达$\ge1$状态的时间），并由此推出若$\mathbf{P}(\tau=\infty)>0$，必存在某个$k_0\le0$使得$\mathbf{P}(\tau_{k_0}=\infty)>0$，这一步是完全没问题的。

2. 不可约性的应用
   利用不可约链的互通性，对于任意$t\ge1$，存在正整数$n$使得$\mathbf{P}^{(n)}_{t,k_0}>0$，这也符合不可约链的定义——所有状态两两互通，必然存在从$t$到$k_0$的正概率路径。

3. 矛盾推导的优化空间
   你引入路径中最后一次回到$t$的时刻$j_0$的思路是可行的，但其实可以更直接地推导矛盾：

   • 因为$\mathbf{P}(X_n=k_0|X_0=t)>0$，且$\mathbf{P}(\tau_{k_0}=\infty|X_n=k_0)>0$，根据条件概率的乘法法则：
     $$\mathbf{P}(\tau_{k_0}=\infty,X_n=k_0|X_0=t)=\mathbf{P}(X_n=k_0|X_0=t)\cdot\mathbf{P}(\tau_{k_0}=\infty|X_n=k_0)>0$$
   • 这个事件的含义是：从$t$出发，经过$n$步到达$k_0$后，永远无法到达$\ge1$的状态。而$t$本身属于$\ge1$的状态，这就意味着从$t$出发，有正概率永远不再回到$t$——这直接与$t$是常返状态矛盾（常返状态要求从自身出发回到自身的概率为1，不可能有正概率永远不返回）。

4. 补充边界情况
   可以补充说明：如果初始状态$X_0\ge1$，那么$\tau=0$，显然$\mathbf{P}(\tau<\infty)=1$；只有当$X_0\le0$时，才需要用到你上述的矛盾推导，这样逻辑会更完整。

总结 #

你的思路核心是正确的，精准抓住了不可约常返链的关键性质来构造矛盾，只是部分推导细节可以简化和严谨化。整体方向没问题，调整后可以得到一个完整的证明。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kevin