平面的参数化与线性方程求解结果正确性验证

看起来你的两个解答都是完全正确的，我来帮你梳理确认一下细节：

a) 平面(E_1)的参数化验证 #

你选择将(x_2 = s)和(x_3 = t)作为自由参数，代入平面方程(3x_1 - 2x_2 + x_3 = -1)后，解出(x_1 = \frac{-1 + 2s - t}{3})，最终得到的参数化形式：
$$x(s,t) = \left(\frac{-1 + 2s - t}{3}, s, t\right)$$
是完全有效的。需要说明的是，平面的参数化形式并不唯一——你也可以选择其他变量作为自由参数（比如(x_1)和(x_2)），但你当前的选法逻辑清晰、计算正确，完全符合要求。

b) 平面(E_2)的线性方程验证 #

你的解题步骤非常规范：

1. 首先确定平面上的已知点((1,2,3))，这一步没问题；
2. 计算两个方向向量((4,5,6))和((7,8,9))的叉乘来得到法向量：
   • 叉乘计算过程：
     $$\begin{vmatrix}
     \boldsymbol{i} & \boldsymbol{j} & \boldsymbol{k} \
     4 & 5 & 6 \
     7 & 8 & 9
     \end{vmatrix} = \boldsymbol{i}(5\times9 - 6\times8) - \boldsymbol{j}(4\times9 - 6\times7) + \boldsymbol{k}(4\times8 - 5\times7) = (-3, 6, -3)$$
   • 将法向量简化为((-1, 2, -1))是合理的（非零常数倍的法向量都可以用来表示平面）；
3. 代入点法式方程(-1 \cdot (x - 1) + 2 \cdot (y - 2) -1 \cdot (z - 3) = 0)，展开化简后得到(-x + 2y - z = 0)，这个结果完全正确：
   • 验证已知点：将((1,2,3))代入方程左边，得到(-1 + 4 - 3 = 0)，满足方程；
   • 验证方向向量：将((4,5,6))代入左边得(-4 + 10 - 6 = 0)，将((7,8,9))代入得(-7 + 16 - 9 = 0)，两个方向向量都与法向量垂直，符合平面的定义。

总的来说，你的两个解答逻辑严谨、计算准确，没有任何问题~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wengen