Julia中qr(A)在矩阵列数大于秩时的异常结果原因咨询

问题描述 #

处理秩为2的矩阵A_1时，qr(A_1)的结果符合预期；但处理秩为1的矩阵A_2时，得到的Q有2列、R有2行，这与预期中Q列数、R行数等于矩阵秩的情况不符，对此存在困惑。

复现代码及运行结果 #

环境与基础定义 #

using LinearAlgebra
e_1 = zeros(4)
e_1[1] = 1
e_2 = zeros(4)
e_2[2] = 1

秩为2的矩阵A_1 #

A_1 = [e_1 e_2]
Q, R = qr(A_1)
display(Matrix(Q))
display(R)

运行结果：

4×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 0.0  1.0
 0.0  0.0
 0.0  0.0
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 0.0  1.0

秩为1的矩阵A_2 #

A_2 = [e_1 e_1]
Q, R = qr(A_2)
display(Matrix(Q))
display(R)

运行结果：

4×2 Matrix{Float64}:
 1.0  0.0
 0.0  1.0
 0.0  0.0
 0.0  0.0
2×2 Matrix{Float64}:
 1.0  1.0
 0.0  0.0

行为解释 #

Julia中qr函数默认执行的是完整QR分解，而非精简版分解：

• 完整分解下，Q的列数与原矩阵的列数一致，R的行数也与原矩阵列数一致，无论矩阵的秩是多少。
• 对于秩为1的A_2，R的第二行全为0，这正是矩阵秩亏的体现——R中非零行的数量等于原矩阵的秩（这里是1），Q的第二列是正交补空间的基，虽然对表示原矩阵的列空间没有作用，但保证了Q是正交矩阵（列向量两两正交且模长为1）。

如果需要得到列数等于矩阵秩的Q和行数等于秩的R，可以使用精简QR分解，通过传入Val(true)参数实现：

Q_reduced, R_reduced = qr(A_2, Val(true))
display(Matrix(Q_reduced))
display(R_reduced)

运行结果：

4×1 Matrix{Float64}:
 1.0
 0.0
 0.0
 0.0
1×2 Matrix{Float64}:
 1.0  1.0

这个结果就符合最初预期的“Q列数、R行数等于矩阵秩”的形式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者tchappy ha