关于构造非k₂H的SUS空间（imposter，冒名空间）的拓扑学技术问询

大家好，最近在研究拓扑分离公理的过程中，我遇到了一个有趣的问题，先给大家梳理下相关背景：

US（Unique Sequential limits，唯一序列极限）是一类经典的分离性质，它被$T_2$（Hausdorff）性质蕴含，同时又蕴含$T_1$性质。在拓扑学文献中，它属于一条包含多个不同分离性质的强弱链，从强到弱依次为：

• $T_2$
• $k_1$-Hausdorff
• KC（紧集都是闭集的空间）
• Weakly Hausdorff（弱Hausdorff）
• $k_2$-Hausdorff（简称$k_2H$）
• US
• $T_1$

最近在Carolinas拓扑研讨会上，Alan Dow的发言启发我思考了一个新的中间分离性质。先明确几个关键定义：

• 长序列：指从无限基数$\kappa$到拓扑空间$X$的连续函数$f:\kappa\to X$；
• 极限：若$x\in X$的每个邻域都包含$f[\kappa\setminus\alpha]$（其中$\alpha<\kappa$），则称$x$是该长序列的极限。

我们将满足「任意长序列的极限唯一」的空间定义为SUS（Strongly US，强US）空间。很容易得出两个基本结论：

1. 所有SUS空间都是US空间；
2. 所有$k_2H$空间都是SUS空间，证明如下：

假设$x,y$是长序列$f:\kappa\to X$的两个极限，构造紧Hausdorff空间$K=(\kappa+1)\times{0,1}$，定义连续映射$g:K\to X$：$g(\alpha,i)=f(\alpha)$，$g(\kappa,0)=x$，$g(\kappa,1)=y$。由于$(\kappa,0)$和$(\kappa,1)$不存在开邻域$U,V$使得$f[U]$与$f[V]$不交，因此必然有$g(\kappa,0)=g(\kappa,1)$，即$x=y$。

标准的「US但非$k_2H$」空间例子是端点加倍的$\omega_1+1$：它是US空间，因为只有平凡的$\omega$-长度序列会收敛到$\omega_1$；但它不是SUS空间，因为$\omega_1$上的恒等映射作为长序列，在加倍的端点处有两个不同的极限。

现在核心问题来了：**能否构造一个是SUS但非$k_2H$的空间？**我们把这类空间称为「imposter（冒名空间）」。

紧急讨论：一个看似符合条件的候选空间 #

我提出了这样一个空间$X=[0,1]\cup{\infty}$，其拓扑定义如下：

• $[0,1]$中的点保留欧几里得拓扑下的标准邻域；
• $\infty$的邻域必须包含$[0,1]$的一个开稠密子集。

首先，它的开子空间$[0,1]$是SUS空间（因为可度量化空间必然是Hausdorff空间，自然满足SUS）。接下来只需证明：若$[0,1]$中的点$x$是某个长序列的极限，则$\infty$不可能是该长序列的极限。

设$x\in[0,1]$是长序列$f:\kappa\to X$的极限，那么对每个$n<\omega$，存在$\alpha_n<\kappa$，使得$x$的$1/2^{n$邻域$B(x,1/2}n)$包含$f[\kappa\setminus\alpha_n]$。分两种情况讨论：

1. 若$\sup_{n<\omega}\alpha_n=\alpha<\kappa$，则$f[\kappa\setminus\alpha]={x}$，而$X\setminus{x}$是$\infty$的邻域，且不包含$f[\kappa\setminus\alpha]$，因此$\infty$不是该长序列的极限；
2. 若$\sup_{n<\omega}\alpha_n=\kappa$，则$f$在${\alpha_n:n<\omega}$上的限制是$[0,1]$中收敛到$x$的可数序列，而${\alpha_n:n<\omega}$是$[0,1]$中的无处稠密集，因此$X\setminus{\alpha_n:n<\omega}$是$\infty$的邻域，且不包含该长序列的最终子列，故$\infty$也不是极限。

不过我能确定这个空间不是弱Hausdorff空间（它包含紧Hausdorff空间$[0,1]$的非闭拷贝），但暂时无法确定它是否是$k_2H$空间——也就是不确定它是不是我们要找的imposter。

更新：该候选空间并非imposter #

后续分析发现，这个空间其实是$k_2H$空间，理由如下：
设$K$是紧Hausdorff空间，$f:K\to X$是连续映射，且$f(l)\neq f(k)$。由于$[0,1]$中的任意两点都可以被开集分离，我们只需考虑$f(l)=\infty$的情况。

取$l$的开邻域$V$，使得$\overline{V}\subseteq f^\leftarrow[X\setminus{f(k)}]$，即$f(k)\notin f[\overline{V}]$。因为$\overline{V}$是紧集，所以$f[\overline{V}]$是$X$中的紧集。我们先证明$f[\overline{V}]$在$X$中是闭集：

设$x$是$f[\overline{V}]$的极限点，若$x=\infty$，则$x=f(l)$，显然属于$f[\overline{V}]$；否则，对每个$n<\omega$，取$x_n\in B(x,1/2^n)\cap f[\overline{V}]$，那么开集族${X\setminus{x_n:N\leq n<\omega}:n<\omega}$覆盖$X\setminus{x}$，但它无法有限覆盖${x_n:n<\omega}$，因此它也不能覆盖紧集$f[\overline{V}]$，这说明$x\in f[\overline{V}]$。

由于$f(k)\notin f[\overline{V}]$，令$U=f^\leftarrow[X\setminus f[\overline{V}]]$，则$U$是$k$的开邻域，$V$是$l$的开邻域，且$f[U]\cap f[V]\subseteq (X\setminus f[\overline{V}])\cap f[\overline{V}]=\emptyset$，完全满足$k_2H$空间的定义。

题外话：一种更自然的SUS定义？ #

今天在Pitt拓扑研讨会上分享相关工作后，Paul Gartside提出了一个想法：或许「强US」的更自然定义应该基于任意Hausdorff空间上的连续函数，而非序数——具体来说，考虑函数的极限（要求邻域与函数像的交是余紧的），并要求这种极限唯一。我们将这种性质命名为SUS'，那么存在如下蕴含关系：$k_2H \implies SUS' \implies SUS$。我认为SUS'更有可能与$k_2H$等价，而我们之前讨论的基于序数的SUS则不一定，这也是一个值得深入研究的方向。

2025/05/29 更新 #

我和@MW合作撰写的论文《Separation Axioms Among US》已被《Topology and Its Proceedings》期刊接收，论文中详细探讨了这些SUS空间的相关分离公理问题。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Steven Clontz