关于Atiyah-Macdonald中R-代数张量积的R-模结构的疑问

你这里的核心问题是混淆了R-模作用的定义和R-代数的结构映射，而且大概率误解了Atiyah-Macdonald里的表述，咱们一步步理清楚：

首先得明确两个层次的结构，顺序不能搞反：

1. S⊗_R T作为R-模的基础结构：这是最优先的，和代数结构无关。因为S和T本身都是R-模，它们的张量积S⊗_R T的R-模结构是标准的张量积模结构，定义为：
   对于任意r∈R，s⊗t∈S⊗_R T，

   r·(s⊗t) = (r·s)⊗t = s⊗(r·t)
   

   这里的r·s就是R-代数S中结构映射f给出的作用，也就是f(r)s；同理r·t=g(r)t。而因为R是交换环，f(R)包含在S的中心，g(R)包含在T的中心，再加上R-模张量积的构造本身就保证了(r·s)⊗t = s⊗(r·t)成立（这是张量积商掉的关系之一），所以这个模结构是完全良定义的。

2. 在此基础上赋予R-代数结构：当我们说S⊗_R T是R-代数时，是给这个R-模加上乘法运算，再验证兼容性：

   • 乘法定义：对基本张量，(s₁⊗t₁)(s₂⊗t₂) = s₁s₂⊗t₁t₂，然后线性扩展到整个张量积；
   • 单位元是1_S⊗1_T；
   • R-代数的结构映射（即从R到S⊗_R T的环同态）是r ↦ f(r)⊗1_T = 1_S⊗g(r)，而不是你看到的f(r)⊗g(r)！这是关键的误解点。

为什么这个结构映射是对的？因为：

• 它是环同态：φ(r₁+r₂)=f(r₁+r₂)⊗1_T=(f(r₁)+f(r₂))⊗1_T=φ(r₁)+φ(r₂)，φ(r₁r₂)=f(r₁r₂)⊗1_T=f(r₁)f(r₂)⊗1_T=(f(r₁)⊗1_T)(f(r₂)⊗1_T)=φ(r₁)φ(r₂)；
• 它和R-模作用兼容：r·v = φ(r)v对所有v∈S⊗_R T成立。比如取v=s⊗t，φ(r)(s⊗t)=(f(r)⊗1_T)(s⊗t)=f(r)s⊗t=r·(s⊗t)，完全符合模作用的定义。

回到你的疑问：你错误地把r·ψ(s,t)当成了(f(r)⊗g(r))(s⊗t)，但实际上r·ψ(s,t)就是标准模作用下的r·(s⊗t)=f(r)s⊗t，而ψ(r·s,t)=f(r)s⊗t，两者完全相等，这就满足了ψ的R-双线性性。

那你看到的r↦f(r)⊗g(r)是什么？其实这个元素等于φ(r)φ(r)=φ(r²)，也就是r²在结构映射下的像，显然不是R-代数的结构映射——大概率是你误解了书上的表述，或者书上是在说明某个相关性质，但绝不是用来定义R-模结构的。

总结一下正确的逻辑链：

• 先有S和T作为R-模的张量积，得到带标准R-模结构的S⊗_R T；
• 给这个模定义乘法，使其成为环；
• 验证环乘法和R-模作用兼容，同时定义结构映射r↦f(r)⊗1_T，使其成为R-代数。

这样所有的矛盾就都消失了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者legionwhale