自定义期望算子不满足单调收敛公理的证明思路求助

各位大佬好，我现在遇到一个问题想请教大家：

假设期望算子定义为：
$$E(X) = \lim_{D\to \infty} \frac{1}{2D} \int_{-D}^{D} X(\omega)d\omega$$

其中随机变量序列${X_n(\omega)}$的定义如下：
$$X_n\left(\omega\right) = \left{

\begin{array}{lr}

1 & : |\omega| \le n\

0 & : \text{otherwise}

\end{array}

\right.$$
$n = 1, 2, ...$

我需要证明这个$E(X)$满足期望的所有公理，除了下面这条：
$\mathbf{Axiom};\mathbf{5:}$
如果随机变量序列${X_n(\omega)}$单调递增收敛到极限$X(\omega)$，那么
$$E(X) = \lim_{n\to\infty} E(X_n)$$

目前我已经证明了这个算子满足其他所有期望公理，但卡在了证明它不满足第五公理这一步。

我想说明的是，尽管${X_n(\omega)}$收敛到$X(\omega)$，但
$$\lim_{n\to \infty}E(X_n) = \lim_{n\to \infty}\left[\lim_{D\to \infty}\frac{1}{2D}\int_{-D}^{D} X_n(\omega)d\omega\right]\neq E(X)$$

我不太清楚该怎么推进这个证明，目前有几个初步思路：

• 或许可以证明$D\to\infty$和$n\to\infty$这两个极限不能交换顺序，交换后计算得到的结果会不一样；
• 或者从连续性的角度入手，毕竟$E(X) = \lim_{n\to\infty} E(X_n)$本质上是对期望算子连续性的要求，而这个自定义算子恰好不具备这种连续性；
• 另外我还想到Fatou引理可能会有用，但暂时不知道怎么具体应用。

有没有大佬能给我一点提示或者具体的思路方向呀？非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者WannaBeRealAnalysist