三维空间中不共线三点确定唯一平面的证明方法问询

嘿，我来帮你梳理这个证明的思路！要搞定这个问题，我们可以拆成存在性和唯一性两个核心部分来展开，刚好能把你提到的平面方程形式和题目给出的参数集合联系起来~

第一步：证明存在这样的平面包含P、Q、R #

先看题目给出的集合：
E = P + ℝ·(P - Q) + ℝ·(P - R)
我们可以把这个集合里的任意一点X表示成：
X = P + s(P-Q) + t(P-R)，其中s、t是任意实数

1. 从向量角度看：X - P = s(P-Q) + t(P-R)，这说明向量$\overrightarrow{PX}$是向量$\overrightarrow{PQ}$（即Q-P，和P-Q是相反向量）、$\overrightarrow{PR}$（即R-P，和P-R是相反向量）的线性组合。因为P、Q、R不共线，所以$\overrightarrow{PQ}$和$\overrightarrow{PR}$是线性无关的，这三个向量必然共面，所以X一定在过P点、由这两个向量张成的平面上。
2. 转化成你熟悉的点法式/一般式：我们可以找这个平面的法向量$\boldsymbol{n}$，它需要和$\overrightarrow{PQ}$、$\overrightarrow{PR}$都垂直，所以取$\boldsymbol{n} = (P-Q) \times (P-R)$（三维向量的叉乘）。因为P、Q、R不共线，这个叉乘结果肯定不是零向量，所以平面的点法式方程就是：
   $\boldsymbol{n} \cdot (X - P) = 0$
   把这个点法式展开，就能得到你提到的a(x - x₀) + b(y - y₀) + c(z - z₀) = 0，再整理一下就是ax + by + cz + d = 0的一般式。这就证明了，确实存在包含P、Q、R的平面，而且可以表示成题目给出的E的形式。

第二步：证明这个平面是唯一的 #

假设存在另一个平面$E'$也包含P、Q、R，我们来证明$E'$和E是同一个平面：

1. 从法向量角度：$E'$的法向量$\boldsymbol{n}'$必须满足$\boldsymbol{n}' \cdot (Q-P) = 0$且$\boldsymbol{n}' \cdot (R-P) = 0$（因为Q、R在$E'$上），这说明$\boldsymbol{n}'$和$(P-Q)$、$(P-R)$都垂直。而这两个向量是线性无关的，所以$\boldsymbol{n}'$只能是$\boldsymbol{n} = (P-Q) \times (P-R)$的非零倍数，也就是$\boldsymbol{n}'$和$\boldsymbol{n}$平行。又因为$E'$和E都包含点P，法向量平行的两个平面要么重合要么平行，但它们有公共点，所以必然重合。
2. 从参数形式角度：$E'$里的任意一点X，因为在过P、Q、R的平面上，所以$\overrightarrow{PX}$一定可以由$\overrightarrow{PQ}$和$\overrightarrow{PR}$线性表示，也就是X = P + s(Q-P) + t(R-P)，这和题目里的E的形式只是系数符号不同（s换成-s，t换成-t），本质上是同一个集合，所以$E'$就是E。

这样就完成了“存在且唯一”的证明啦~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者wengen