关于“秩为3的ℝ⁴到ℝ³的C¹映射的模在定义域内无最大值”的证明正确性验证请求

大家好，我是把数学当爱好自学的，身边没有教授能帮我检查推导的对错，所以来这里求助啦！能不能帮我看看下面这个证明是不是正确的？

习题内容：
若$f: U \to \mathbb{R}^3$，其中$U \subset \mathbb{R}^{4$是开集，$f$在$U$上是$\mathcal{C}}1$的，且在该集合内每一点的秩都是3，那么$|f(x)|$在$x \in U$上不存在最大值。

我的证明过程：

给定的条件保证了$f$是一个浸没（submersion）。我们将$\mathbb{R}^{4$分解为直和$\mathbb{R}}4=\mathbb{R}^{1\oplus\mathbb{R}}3$，使得对于所有$x \in U$，$f'(x)$在$\mathbb{R}^{3$上的限制是一个到$\mathbb{R}}3$的同构。

根据浸没的局部标准型，存在一个同胚$h:V\times W\to Z$，其中$V \subset\mathbb{R}^{1$、$W\subset\mathbb{R}}3$、$Z \subset\mathbb{R}^4$都是开集，满足对任意$(x,w)\in V \times W$，有：
$$fh(x,w)=w$$

令$h^{-1}:Z\to V \times W$，记$h^{-1}(a)=(a_1, a_2)$，那么可以推出：
$$f(a)=fhh^{-1}(a)=fh(a_1,a_2)=a_2$$

由于$f$是浸没，它是一个开映射，这意味着$f(U)$是$\mathbb{R}^3$中的开集。而$|f(a)|=|a_2|$，在开集上向量的模长是无法取得最大值的——毕竟开集里没有边界点，总能找到模长更大的点，因此结论成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者khalelbm