如何求解底数含根式的对数的精确值——以log_{5√2}50为例

嘿，我来帮你把这个问题理清楚！你已经想到把$\sqrt{2}$写成$2^\frac{1}{2}$，这个思路完全正确，咱们一步步拆解就能找到答案啦～

首先，咱们先回忆两个核心的知识点：指数的运算性质和对数与指数的互逆关系，你已经尝试了指数形式的转化，那咱们就从这里深入：

已知$\log_{5\sqrt{2}}50 = x$，根据对数的定义，等价于$(5\sqrt{2})^x = 50$。接下来咱们把等式两边都拆解成质因数的幂次形式：

• 左边展开：$(5 \times 2^\frac{1}{2})x = 5^x \times (2^\frac{1}{2})x = 5^x \times 2^{\frac{x}{2}$（这里用到了指数的两个性质：$(ab)}n = a^n b^{n$，以及$(a}m)^n = a^{mn}$）
• 右边的50分解质因数：$50 = 2 \times 5^2 = 2^1 \times 5^2$

因为等式两边的质因数分解是唯一的，所以对应底数的指数必须相等，咱们可以列出两个方程：

• 对于底数5的指数：$x = 2$
• 对于底数2的指数：$\frac{x}{2} = 1$，解出来也是$x=2$

两个方程都指向$x=2$，所以$\log_{5\sqrt{2}}50 = 2$！

另外，咱们也可以用你提到的换底公式来验证：$\frac{\log50}{\log(5\sqrt{2})}$，利用对数的乘积法则和幂法则展开：

• 分子$\log50 = \log(2 \times 5^2) = \log2 + 2\log5$
• 分母$\log(5\sqrt{2}) = \log(5 \times 2^\frac{1}{2}) = \log5 + \frac{1}{2}\log2$

你会发现分子其实是分母的2倍：$\log2 + 2\log5 = 2 \times (\log5 + \frac{1}{2}\log2)$，所以分子除以分母的结果就是2，和之前的结论一致。

其实你已经离答案非常近了，就是差了一步“通过质因数分解对应指数相等”的思路，预微积分里这类对数精确值的问题，大多都是靠分解质因数+对数/指数的基本性质来解决的，多练几次就会很顺手啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者marikitpo