关于Knuth《算法分析选集》中Γ函数围道积分渐近展开的残数法推导疑问

我最近在啃Donald Knuth《算法分析选集》第21章的补充内容时，卡在了一个积分的渐近展开推导上。Knuth在长推导里给出了这个积分的渐近展开：

$$ \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c + i \infty } \frac{\Gamma(s-5/2)\Gamma(4-s) m^s \zeta(s)}{\Gamma(3/2)} ds \sim \frac{\Gamma(-3/2)\Gamma(3)}{\Gamma(3/2)} m + \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \frac{\Gamma(3/2+n)}{\Gamma(3/2)} m^{5/2-n} \zeta(5/2-n) $$

其中$\frac{5}{2} < c < 4$。Knuth只提到这个渐近级数是通过“尽可能减小c并累加被积函数极点的残数”得到的，但我实在摸不清这里的逻辑细节。

我把问题推广到更一般的积分形式来分析：

$$ \frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty }^{c + i \infty } \frac{\Gamma(s-\alpha) \Gamma(\alpha+\beta-s)m^s\zeta(s)}{\Gamma(\beta)} $$

其中$\alpha = A+\frac{1}{2}, \beta = B-\frac{1}{2}$，且$A,B \in \mathbb{N}$。积分是取$R \to \infty$时，从$c-iR$到$c+iR$的线积分的极限。

首先，被积函数的极点出现在$s = k$或$s = k + \frac{1}{2}$（$k \in \mathbb{Z}$）的位置。这个函数来自逆Mellin变换，基本带是${ z \in \mathbb{C} : \alpha < \Re(z) < \alpha + \beta }$，所以被积函数在这个带内有定义，且可以解析延拓到整个复平面。

我考虑了围道$C = L \cup S$，其中$L$是从$s=c-iR$到$s=c+iR$的线段，$S$是延伸到负实轴的半圆弧（参数化为$S(t) = c + Re^{i \theta}$，$\theta \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$）。根据残数定理，有：

$$\int_C f(z) dz = 2 \pi i \sum_{z \in [c, c-R] \cap \left( \mathbb{Z} \cup \mathbb{Z} + \frac{1}{2} \right)} \text{Res}\left(f; z\right)$$

这里的求和是针对围道内部的所有极点，也就是区间$[c, c-R]$内的所有整数和半整数。

同时我们可以把围道积分拆成两部分：

$$ 2 \pi i \sum \text{Res} f(z) = \int_C f(z) dz = \int_{c-iR}^{c+iR} f(z) dz + \int_S f(z) dz $$

如果当$R \to \infty$时$\int_S f(z) dz \to 0$，那Knuth的结论就成立，但这正是我卡壳的地方。我试过用斯特林近似处理Γ函数项，但毫无进展，所以非常需要这方面的帮助。

注：我知道原论文里Knuth引用了一些Mellin变换相关的定理，但我想避开这些定理，因为Knuth的表述看起来这应该是个直接的计算。任何帮助都感激不尽！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Husnain Raza