已知k次成功时x次伯努利试验概率分布的相关疑问
用户问题
我现在在找一种概率分布，用来计算给定固定的k次成功时，总共进行x次伯努利试验的概率。
我已经了解过负二项分布，它的概率公式是：
$$
P(X=x) = \binom{x-1}{k-1} p^k (1-p)^{x-k}
$$
其中：
- $x$ 是伯努利试验的总次数（不固定）
- $k$ 是成功的次数（固定）
- $p$ 是单次试验成功的概率（固定）
不过我看到资料里说，这个负二项分布计算的是直到第k次成功时总共进行了x次试验的概率。我不确定这是不是和我要找的“给定k次成功时，总共进行x次试验”是一回事，如果它们是等价的，能不能有人帮我解释下为什么？
维基百科的内容我看不太懂，有点困惑。
解答
你其实没搞错，这两个表述本质上是完全等价的，我来给你拆解清楚：
首先，我们先把两个表述的核心场景对齐：
- 表述1：“直到第k次成功时总共进行了x次试验”——这句话的核心是：第x次试验恰好就是第k次成功，而前x-1次试验里刚好有k-1次成功，剩下的x-k次都是失败。
- 表述2：“给定k次成功时，总共进行了x次试验”——这里的“给定k次成功”其实隐含了一个关键前提：我们讨论的是恰好得到k次成功的前提下，总试验次数为x。但仔细想，要满足“总共有k次成功且试验次数是x”，必然是第x次试验就是第k次成功——不然的话，如果第k次成功出现在x-1次试验时，我们根本不需要做第x次试验，总试验次数最多就是x-1，不会到x。
再从概率定义的角度验证：
如果你误以为自己要的是条件概率（比如“已知有k次成功，求总试验次数是x的概率”），那可能会混淆二项分布和负二项分布，但其实你要的是“为了得到k次成功，必须进行x次试验”的概率——这正是负二项分布所描述的事件。
可能你混淆了“给定k次成功”的两种解读：
- 第一种是固定试验次数的场景：比如我们预先决定做x次试验，事后发现有k次成功，这是二项分布的范畴；
- 第二种是固定成功次数的停止规则：我们一直做试验，直到得到k次成功就停止，此时总试验次数x的分布就是负二项分布——而这正好对应你说的“给定k次成功时总试验次数是x”，因为这里的k次成功是我们停止试验的条件，总试验次数x就是达到这个条件所需要的次数。
举个简单的例子帮你理解：假设k=2（要2次成功），x=3（总试验次数3次）。负二项分布计算的是“前2次试验有1次成功，第3次试验成功”的概率，也就是$\binom{2}{1}p2(1-p){1}$。而“给定2次成功时总试验次数是3”，如果我们的试验规则是“直到拿到2次成功就停”，那这个事件的概率就是负二项分布的结果——因为要拿到2次成功用了3次试验，必然是第3次是第二次成功，前两次刚好有一次成功，和负二项的场景完全匹配。
总结一下：你要找的分布就是这个负二项分布，两种表述只是同一个事件的不同说法，核心都是“为了获得k次成功，恰好需要进行x次试验”，也就是第x次试验是第k次成功，前x-1次有k-1次成功。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Marcus Chiu
