求解极限$ \lim_{n \to \infty} (2^n + 6^n)^{1/n}$的思路求助

云上老周

2026-4-21

求解极限$ \lim_{n \to \infty} (2^n + 6ⁿ⁾{1/n}$的思路求助

嘿，别慌！我来给你几个接地气的思路提示，帮你搞定这个极限问题：

先抓“主导项”是关键：观察括号里的两项$2^n$和$6n$，当n趋向无穷大时，底数更大的指数项会增长得快得多，所以$6^n$是这里的“主导项”。我们可以把它提取出来，原式就变成：
$$
\left(6^n\left(1 + \left(\frac{2}{6}\right)^{n\right)\right)}{1/n} = 6 \times \left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^n\right){1/n}
$$
接下来你只需要分析后面这个部分的极限就行啦。
用夹逼准则简化分析：如果觉得上面的提取项有点懵，试试夹逼准则。我们可以把原式放在两个更容易计算的极限之间：
$$
6 = (6ⁿ⁾{1/n} < (2^n + 6ⁿ⁾{1/n} < (6^n + 6ⁿ⁾{1/n} = (2 \times 6ⁿ⁾{1/n} = 2^{1/n} \times 6
$$
当n趋向无穷时，$2^{1/n}$会趋近于1（因为任何大于0的常数的1/n次方，n→∞时都是1），所以根据夹逼准则，中间的极限就等于6。
关于e和ln的使用：其实这个问题不需要非得用e或者ln，不过如果你想用的话也可以试试取对数的方法——把原式取自然对数，变成$\frac{\ln(2^n + 6^n)}{n}$，然后对分子做变形：
$$
\frac{\ln\left(6^n\left(1 + \left(\frac{2}{6}\right)^n\right)\right)}{n} = \frac{n\ln6 + \ln\left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{n} = \ln6 + \frac{\ln\left(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^n\right)}{n}
$$
当n→∞时，后面那项的分子$\ln(1+(1/3)^n)$趋近于$\ln1=0$，分母n趋向无穷，所以整个项趋近于0，最终对数的极限是$\ln6$，再指数化回去就得到原式的极限是6。