正可测函数序列收敛性与积分值的相关证明问询

嗨，我来帮你把这个问题的证明思路理清楚，结合你提到的定理和疑惑点一步步展开：

一、证明 $f \in \mathcal{M}_{\bar{\mathbb{R}}}^+(\mathcal{A})$ #

你提到的那个可测函数极限的定理完全适用！具体来说：

• 已知${f_n}$都是$\mathcal{A}$-可测的扩展实值正函数，且$f_n$逐点收敛到$f$；
• 根据你给出的定理：只要可测函数序列的逐点极限在$\bar{\mathbb{R}}$中存在，这个极限函数就是可测的；
• 另外，每个$f_n$非负，所以极限$f$自然也是非负的（非负数的极限不可能为负）。

综上，$f$满足$\mathcal{M}_{\bar{\mathbb{R}}}^+(\mathcal{A})$的定义，属于这个正可测函数族。

补充：你之前猜想“$f = \sup f_n$”只有当序列单调递增时才成立，一般收敛的情况下$f$只是逐点极限，但这不影响可测性，定理已经覆盖了逐点极限的情况。

二、证明 $\int_X f d\mu \leq 2023$ #

这里要用到Fatou引理，这是处理非负可测函数序列积分极限的核心工具，正好适配你的问题：

Fatou引理：设${f_n}$是$\mathcal{M}{\bar{\mathbb{R}}}^+(\mathcal{A})$中的序列，则
$$\int_X \liminf{n \to \infty} f_n d\mu \leq \liminf_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu$$

因为$f_n$逐点收敛到$f$，所以$\liminf_{n \to \infty} f_n = f$（逐点极限存在时，下极限等于极限）。题目中给出$\lim_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu = 2023$，因此$\liminf_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu = 2023$。把这些代入Fatou引理，直接得到：
$$\int_X f d\mu \leq 2023$$

三、当序列单调递增时，证明 $\int_X f d\mu = 2023$ #

你想到的**Beppo Levi定理（单调收敛定理）**完全正确，这正是它的经典应用场景：

Beppo Levi定理：设${f_n}$是$\mathcal{M}{\bar{\mathbb{R}}}^+(\mathcal{A})$中的单调递增序列，$f = \lim{n \to \infty} f_n$（逐点极限），则
$$\int_X f d\mu = \lim_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu$$

当$f_1 \leq f_2 \leq \dots$时，序列满足单调递增且非负的条件，此时逐点极限$f = \sup_{n} f_n$（这时候你之前的猜想是对的）。结合题目给出的$\lim_{n \to \infty} \int_X f_n d\mu = 2023$，代入定理直接得到：
$$\int_X f d\mu = 2023$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1197800