5元集合中恰有2个元素映射到自身的双射计数中系数2的来源疑问

嗨，我来帮你弄明白这个系数2的由来～

首先要明确：我们要算的是恰好有2个元素映射到自身的双射，这意味着剩下的3个元素里不能有任何一个元素映射到它自己——如果剩下的元素里还有不动点，那总不动点数量就会超过2，不符合我们的要求。

具体可以拆成两步来看：

• 第一步：从5个元素里选出2个作为不动点，这部分的选法就是你已经知道的$\binom{5}{2}$种。
• 第二步：针对剩下的3个元素，我们需要构造一个没有任何不动点的双射（这种排列叫做「错排」）。那3个元素的错排有多少种呢？举个实际例子：假设剩下的元素是a、b、c，符合要求的映射只有两种：
  1. a→b，b→c，c→a
  2. a→c，c→b，b→a
     没错，刚好是2种，这就是那个系数2的来源！

把两步的数量相乘，就得到了恰有2个元素映射到自身的双射总数：$2 \times \binom{5}{2}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者celanapelangi